Физическая оптика

Энергия света

Поток энергии в световой волне. Интенсивность света. Световые пучки и импульсы: энергия, мощность, интенсивность. Концентрация световой энергии во времени и в пространстве. Основные понятия фотометрии.

Способность переносить энергию — одно из основных свойств света. В лек­ции показано, как возникает понятие энергии света в теории Максвелла. Обсу­ждаются предельные возможности концентрации световой энергии во времени и в пространстве. Приводятся численные оценки.

Поток энергии в световой волне. Интенсивность света. Представле­ние об энергии светового поля непосредственно вытекает из уравнений Макс­велла. Рассмотрим сначала наводящие соображения, относящиеся к плоской световой волне, а затем обобщим результат на случай светового поля общего вида.

Пусть плоская световая волна распространяется вдоль оси 2 и имеет ком­поненты поля Ex(z, t) и Hy(z, t). Согласно формулам (2.1) в этом случае

1 дЕх _ дНу 1 дНу _ дЕх

TOC o "1-5" h z с dt dz ’ с dt dz

Умножим первое из этих уравнений на Ех, второе — на Ну и сложим. Получим соотношение

1 (р ^х і 11 &Ну / dHy dEx. .

;1Е*_вГ + н»_вГ)-'Г‘'в7 + я»'э71' (зл)

Введем объемную плотность энергии ПОЛЯ

w = ~(E2x + H2v). (3.2)

87Г

Тогда соотношение (3.1) можно представить в виде

dw _ _dS dt dz ’

где

S = -£-ExHy. (3.4)

47Г

Выясним физический смысл параметра S. Для этого рассмотрим световое поле в некоторой ограниченной области пространства. Пусть это будет прямоугольный параллелепипед высотой z с площадью основания а, расположенный как показано на рис. 3.1. Интегрируя равенство (3.3) по объему параллелепипеда, получим

= J wdV, (3.6)

W — энергия светового поля, находящегося внутри параллелепипеда, V — объем параллелепипеда. Поскольку мы рассматриваем поле в вакууме, изме­нение энергии поля в некотором объеме может быть вызвано только потоком энергии через его границы. Следовательно, величина S в формуле (3.5) имеет смысл потока энергии света. Кале видно из формулы (3.3), размерность S есть эрг/(см2-с).

Для монохроматической плоской волны равенство (3.5) имеет тривиальный смысл, так как в этом случае S(t, z) = S(t, 0) и W = const. Однако для немо­нохроматической волны, в частности, светового импульса, производная dW/dt может быть отлична от нуля, так как световой импульс пересекает границы параллелепипеда в разные моменты времени.

Итак, формулу (3.3) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для плоской световой волны в вакууме. Теперь обобщим этот закон на случай произвольного светового поля, взаимодействующего с заряженными частица­ми. Будем исходить из уравнений Максвелла

- 1 дН ~ 1ЭЁ Аж-t

TOC o "1-5" h z iotE =----------------------------------------- —, rotH = (3.7)

с at с at с

где j — плотность тока, создаваемого движением зарядов. Умножим первое уравнение скалярно на Я, а второе — на Я и вычтем одно уравнение из другого. Получим

- (е^ + Н^ +— зЁ = ErotH - HvotE. (3.8)

с V от at I с

Пользуясь формулой векторного анализа

div [я, я] =НгоЬЁ-ЁгоЪН, (3.9)

соотношение (3.8) можно переписать в виде

(3.10)

где

«I = ^[Е‘ + Я2), (3.11)

87Г

w — объемная плотность энергии ПОЛЯ,

[Й,#], (3.12)

S — вектор потока энергии, или вектор Пойнтинга.

Проинтегрируем уравнение (3.10) по некоторому объему V. Получим

+ J jEdV = - j div SdV, (3.13)

где W — полная энергия электромагнитного поля в объеме V, определяемая формулой (З. б). Предполагая, что электрические заряды представляют собой материальные точки, заменим интеграл в левой части уравнения (3.13) суммой по отдельным зарядам

I jEdV = ^2 ЄіщЕ, (3.14)

v ‘

где Vi — скорость заряда е,, суммирование ведется по всем зарядам, находя­щимся в объеме V. Интеграл в правой части уравнения (3.13) преобразуем, используя теорему Гаусса

J div SdV = j Stndcr, (3.15)

v s

где ln — единичный вектор нормали к элементу da поверхности Е, ограничи­вающей объем V (рис. 3.2).

Используя уравнение движения заряда = єіЕ, нетрудно показать, что

где

K = Yllmivi’ (317)

К — кинетическая энергия системы зарядов. Таким образом, приходим к урав­нению

~(1У + К) — - J Slndrr, (3.18)

£

которое показывает, что скорость изменения энергии электромагнитного поля и кинетической энергии системы зарядов в некотором объеме равна потоку энергии поля через поверхность этого объема.

Используя формулы (2.37), для плоской монохроматической волны можно записать

. - Е2п = —Н п. 4ж 4к

Отсюда с учетом формулы (3.11) получаем

S = cwn, S = сш, (3.19)

где п — единичный вектор направления распространения волны. Таким обра­зом, световая энергия перемещается в направлении распространения плоской волны. Скорость переноса энергии световой волной, распространяющейся в ва­кууме, равна с.

Интенсивность света. Рассмотрим плоскую гармоническую световую волну с компонентами

Ех = Acos(ujt — kz), Ну = Acos(ut - kz). (3.20)

В этом случае модуль вектора Пойнтинга

S = —И2 cos2(u>t - kz) = —А2 + —И2 cos[2(w£ - kz)}. (3.21)

47Г о7Г 07Г v

Видно, что поток энергии в световой волне содержит две составляющие: по­стоянную и осциллирующую во времени и в пространстве. В оптике частоты электромагнитных колебаний составляют около 1015 Гц. Измерительные при­боры не способны отслеживать столь быстрые изменения, поэтому на практике может быть измерен лишь средний за период световых колебаний поток энер­гии

т

I = S = - J Sdt, Т = 2тт/ш. (3.22)

о

Эта величина называется интенсивностью световой волны.

Выражение для интенсивности через напряженность электрического поля

Е волны имеет вид

Т

E2 = fJ E2(lt -

о

Используя данное определение, нетрудно вывести соотношения, связывающие интенсивность с действительной амплитудой А и комплексной амплитудой £ волны. Полагая

Е = Acos(wt — kz),

или

(3.26)

получим соответственно

(3.27)

И ЛII

(3.28)

Данные формулы применимы для плоской монохроматической волны в ваку­ум Обобщение на случай волны, распространяющейся в среде, дано в ч. IV. Размерность интенсивности, как и потока энергии, есть эрг/(см2-с). Наряду с гад е совой единицей измерения, используется также внесистемная единица из­мерения интенсивности Вт/см2 = 107 эрг/(см2-с).

Световые пучки и импульсы: энергия, мощность, интенсивность. В

отличие от плоской волны, реальный световой пучок имеет конечный попе­речный размер. Как показано в лекции 1, пучок можно описать квазиплоской волной, амплитуда которой зависит от координат в плоскости перпендикуляр­ной направлению распространения:

Е = А(х, у) cos{ut — kz).

Аналогичным образом поле светового импульса можно описать квазиплоской квазигармонической волной, амплитуда ко? орой зависит не только от коорди­нат, но и от времени:

Е = А(х у, i) cos(wjt — kz).

Энергетику световых пучков и импу льсов характеризуют понятиями интенсив­ности света, полной мощности пучка и полной энергии импульса. Выражения для интенсивности света в моделях квазиплоской волны и квазиплоской квази­гармонической волны получим, подставив выражения (3.29), (3.30) в формулу (3.23). При этом оказывается, что интенсивность света в пучке зависит от ко­ординат в плоскости поперечного сечения:

Пх, у) = т~а2(х>у)-

Интенсивность импульсного излучения зависит, кроме того, и от времени:

(3.32)

Полная мощность светового пучка определяется как интеграл от интенсивности по поперечному сечению пучка:

(3.33)

Аналогичным образом полная энергия импульса есть

(3.34)

Например, для осесимметричного гауссова пучка с распределением интенсив­ности

1{г) = /о ехр( Г^/Tq)

полная мощность есть

(3.36)

где Iq — интенсивность в центре пучка, го — его радиус.

Для измерения энергетических характеристик света используют его тепло­вое действие, а также явление фотоэффекта. Располагая измерительной аппа­ратурой с достаточным временным и пространственным разрешением, можно измерить поперечные распределения интенсивности непрерывного 1(х, у) и им­пульсного I(x, y,t) излучений.

Для оценок удобно использовать такие параметры как эффективная ин­тенсивность света /эф, эффективная мощность импульса Рэф, эффективная напряженность электрического поля световой волны Еэф. Эффективная ин­тенсивность непрерывного излучения определяется как отношение мощности пучка к площади его поперечного сечения

и Ф = P/S.

Для светового импульса

Рэф = W/t, /эф = W/(tS),

где W — энергия импульса, т — его длительность. Эффективная напряжен­ность светового поля определяется как

(3.39)

Рассмотрим несколько примеров.

Солнечный свет. Интенсивность солнечного света вблизи поверхности

Земли составляет около 0,1 Вт/см2. Радиус земной орбиты R = 1,5 х 108 км.

Отсюда можно определить полную мощность излучения Солнца. Она оказыва­ется равной Р = 4nR2I = 3 х 10 Вт.

Гелий-неоновый лазер. Это газовый лазер непрерывного действия, излучающий свет с длиной волны Л = 0,63 мкм. Типичная мощность излуче­ния составляет Р = 10-2 Вт. При радиусе пучка г = 0,2 см его эффективная интенсивность

h ф = Р/(пг2) = 0,1 Вт/см2. (3.40)

Это сравнительно небольшая интенсивность, она близка к интенсивности сол­нечного света на поверхности Земли. Относительно невелика и напряженность светового поля. Согласно (3.39) и (3.40)

Едф = 3 х 10_2СГСЭ = 9 В/см. (3.41)

Лазер на углекислом газе. Этот лазер генерирует инфракрасное из­лучение на длине волны А = 10,6 мкм. В непрерывном режиме мощность гене­рации составляет обычно Р — 10-100 Вт. В импульсном режиме лазер генери­рует импульсы с энергией W = 0,1 Дж при длительности импульса т = 10-7 с и обладает эффективной мощностью РЭф = Ю6 Вт.

Лазер на гранате с неодимом. Твердотельный лазер на кристалле алюмоиттриевого граната, активированного ионами неодима (YAG:Nd3+), из­лучает в ближнем инфракрасном диапазоне на длине волны А = 1,06 мкм. В непрерывном режиме с возбуждаемого излучением газоразрядной лампы ак­тивного элемента длиной 6-8 см и диаметром около 1 см удается получить мощность Р = 1-10 Вт. В импульсном режиме лазер генерирует импульс дли­тельностью т = 10_3 с с энергией W = 1 Дж (режим свободной генерации), при этом эффективная мощность излучения Рэф = 103 Вт. В режиме модули­рованной добротности лазер генерирует импульс длительностью Т = 10-8 с с энергией W = 0,1 Дж. Мощность такого (“гигантского”) импульса составляет Рэф = 107 Вт.

Концентрация световой энергии во времени и в пространстве. Из

формул (3.38), (3.39) видно, что при заданной энергии импульса мощность, ин­тенсивность и напряженность светового поля определяются поперечными раз­мерами пучка и длительностью импульса. Возникает вопрос: каковы предель­ные возможности концентрации световой энергии во времени и в пространстве?

Высокая монохроматичность и направленность лазерного излучения позво­ляют сконцентрировать его на очень малых пространственных и временных масштабах. Так, при фокусировке излучения мощностью Р = 10 Вт (ла­зер на гранате с неодимом) в пятно радиусом г = 10-2 см получим интен­сивность I = Р/тгг2 = 3 х Ю10 Вт/см2 и эффективную напряженность поля Е = 5 х 106 В/см.

В видимом диапазоне предельный диаметр фокального пятна имеет порядок длины световой волны (см. ч. III)

dmin « А и 0,5 х 10~4 см, (3.42)

а предельная длительность светового импульса определяется периодом коле­баний поля

Tmin ~ Т = 2г/ш » 2 х 10 15 с.

Переход к таким масштабам позволяет повысить интенсивность света при той же полной энергии еще на 8-10 порядков.

Устанавливаемые формулами (3.42), (3.43) фундаментальные пределы кон­центрации световой энергии уже достигнуты современной лазерной физикой. Интересные возможности, открывающиеся в связи с этим перед физической оптикой, мы обсудим в дальнейшем (см. ч. IV). Здесь же отметим только, что поистине к гигантским значениям интенсивности и напряженности светового поля приводит концентрация излучения мощных и сверхмощных лазерных си­стем. Так, на лазерных установках для управляемого термоядерного синтеза получены импульсы с энергией W = 104-105 Дж. При длительности т = 10-9 с такой импульс имеет мощность Р = 1013-1014 Вт. Фокусировка пучка позволяет достичь интенсивности I = 1017-1019 Вт/см2 и напряженности светового поля Е = Ю10 В/см, превышающей напряженность внутриатомного кулоновского поля

Еа = e/al = 5 х 109 В/см. (3.44)

Здесь е = 4,8 х 1(Г10 СГСЭ — заряд электрона, а0 — 0,5 х 10"8 см — боровский радиус.

Основные понятия фотометрии. Для описания света обычных (нела­зерных) источников используют фотометрические понятия и величины. К ним относятся: поток излучения, сила света, освещенность поверхности, энергети­ческая светимость поверхности, яркость источника света. В этом разделе даны определения указанных величин и рассмотрены примеры их использования.[4]

Поток излучения определяется как отношение энергии dW, переноси­мой светом через произвольную поверхность, к промежутку времени dt:

Ф = dW/dt.

Эта величина имеет размерность эрг е-1.

Сила света определяется как отношение потока излучения dФ к телес­ному углу dfi, в котором распространяется излучение:

I = dФ/dQ.

Размерность этой величины есть эрг-с_1-стерад-1.

Освещенность поверхности определяется как отношение потока излуче­ния dФ к площади dS облучаемого элемента поверхности:

є = dФ/dS.

Размерность освещенности есть эрг-с-1-см-2.

Энергетическая светимость поверхности определяется как отноше­ние потока излучения dФ к площади dSH элемента излучающей поверхности:

R = dФ/dSк.

Размерность светимости есть эрг-с_1-см~2.

Яркость источника света определяется как отношение силы света dl к площади проекции dS_ светящегося элемента поверхности на плоскость, пер­пендикулярную направлению наблюдения:

В = dl/dSjL,

где

dS_L = dSo cos в,

dSo — площадь элемента поверхности источника, в — угол между нормалью к светящейся поверхности и направлением на точку наблюдения. Размерность яркости есть эрг-с_1-стерад-1-см-2. Познакомимся с применением фотометри­ческих величин на конкретных примерах.

Излучательная способность тела и энергия теплового из­лучения. Рассмотрим в качестве примера энергетические характеристики теплового излучения. Пусть внутри нагретого тела имеется полость, заполнен­ная равновесным тепловым излучением (рис. 3.3). Не касаясь пока вопроса о спектральном составе излучения, найдем связь между энергетической свети­мостью стенок полости и объемной плотностью энергии излучения в полости.

Введем следующие обозначения: do — площадь элемента поверхности поло­сти, dP — мощность, излучаемая площадкой do во всех направлениях, dV — элемент объема полости, dW — энергия излучения в объеме dV,

р = dP/do, (3.45)

р — энергетическая светимость (излучательная способность) поверхности по­лости,

и = dW/dV, (3.46)

и — объемная плотность энергии излучения.

Запишем мощность излучения площадки do в направлении элемента объема dV в виде

dP(do, в, dfi) = В(в) cos 6do cffi,

где В (в) — яркость излучения, в — угол между нормалью к площадке da и направлением от da к dV, dft — телесный угол, под которым виден объем dV из центра площадки da (рис. 3.4). Данную формулу можно рассматривать как определение яркости В (в).

На рис. 3.4 показаны сферические координаты R, в, р элементарного объема dV относительно площадки da. Объем dV виден из центра площадки da под телесным углом

dS

dQ, = — = sin Odd dp. R1

В свою очередь, площадка da видна из центра объема dV под телесным углом

da± cos вda

(3.49)

R2

Используя (3.47), (3.48), полную мощность излучения dP площадки da (во всех направлениях) можно записать в виде

2я я/2

dP = da J dip J сШВ(в) cos в sin в.

Далее необходимо конкретизировать вид зависимости В (в). Для равновесного теплового излучения хорошо выполняется закон

В(в) — В = const, (3.51)

называемый законом Ламберта. Подставляя (3.51) в (3.50), получим

dP = irBda. (3.52)

Считая, что излучение поступает в объем dV со всех сторон равномерно, запи­шем

dW(dV, dt, da) = ^dW{dV, dt), (3.53)

47Г

где dW(dV, dt, da) — энергия, поступающая в объем dV за время dt со стороны площадки da, dW (dV, dt) — полная энергия, поступающая в объем dV за время dt (со всех сторон). Величины dW(dV, dt, da) и dP(da, в,dQ.) связаны между собою формулой

dW(dV, dt, da) = dP{da, в, dQ)dt. (3.54)

Объемная плотность энергии излучения

dW _dW(dV, dt)

dV dV ( '

dV = cdS dt, (3.56)

с — скорость света. Из формул (3.45)-(3.49), (3.51)-(3.56) получаем

р = |и. (3.57)

Данная формула выражает искомое соотношение между энергетической све­тимостью (излучательной способностью) р поверхности полости и объемной плотностью энергии и равновесного теплового излучения в полости нагретого тела.

Сравнительные характеристики лазерного и солнечного света. Применительно к лазерному пучку яркость В можно определить как интенсивность I, отнесенную к телесному углу пучка П:

В = 1/П.

Введем угол расходимости пучка в, как показано на рис. 3.5. Тогда

П = 1Г02,

причем считается, что в <С 1. Полагая далее

I = P/пр2,

где Р — мощность, ро — начальный радиус пучка, получим

Для лазерного пучка

2пр0 ’

где А — длина волны излучения (см. дополнение 13), следовательно

В = 4Р/А2.

Например, для гелий-неонового лазера с параметрами А = 0,63 мкм, Р = 1 мВт получаем В = 10® Вт-см_2-стерад-1.

Яркость Солнца вычислим по формуле

В = Р/(4тгЯ)2,

где Р — полная мощность излучения Солнца, R — радиус Солнца. Полагая Р — 3,83 х 1026 Вт, R — 6,96 х Ю10 см, получим В = 5 х 102 Вт-см~2-стерад-1. Таким образом, яркость лазера на несколько порядков превышает яркость Солнца.

Еще выше превосходство лазера в спектральной яркости В, которая опре­деляется как отношение яркости В к спектральной ширине ДА света

Вх = В/АХ.

Для гелий-неонового лазера ДА = 6х Ю-10 нм (что соответствует Дг/ = 500 Гц), следовательно, В = 1,5 х 1015 Вт-см-2 • стерад_1-нм-1. В то же время для Солнца ДА = 400 нм и В = 1,25 Вт см_2-стерад-1- нм-1.