Физическая оптика

Дифракция в дальней зоне

Формирование устойчивой картины дифракции в дальней зоне. Дифракция Фраунгофера как пространственное преобразование Фурье. Дифракция Фраун­гофера на одномерных структурах. Дифракция на щели. Дифракция Фраун­гофера на двумерных структурах. Дифракция на прямоугольном и круглом отверстиях. Дифракция гауссова пучка.

Лекция посвящена фраунгоферовой дифракции. Показано, что при распро­странении светового пучка в дальней зоне возникает устойчивая картина ди­фракции, повторяющая по форме угловой спектр поля. Рассматриваются при­меры фраунгоферовой дифракции на одномерных и двумерных структурах. Сопоставляются данные теории и эксперимента.

Формирование устойчивой картины дифракции в дальней зоне.

Опыты по дифракции световых пучков показывают, что в дальней зоне угловое распределение интенсивности излучения перестает зависеть от координаты z, отсчитываемой вдоль оси пучка. Картина дифракции приобретает устойчивую структуру, вид которой зависит только от распределения поля в начальном сечении. Дифракцию в дальней зоне называют дифракцией Фраунгофера. Рас­смотрим особенности дифракции в дальней зоне с позиций теории, изложенной выше (см. лекцию 14).

Пусть плоская монохроматическая световая волна нормально падает на экран с отверстием, расположенный в плоскости z = О (рис. 15.1). Вычислим распределение интенсивности излучения в некоторой плоскости Хо, уо, парал­лельной экрану с отверстием и расположенной на достаточно большом рассто­янии z от него.

Используя формулы (14.2), (14.3), запишем дифракционное световое поле в виде

(15.1)

где £о(х, у) — распределение поля в сечении z = 0, определяемое формой от­верстия в экране, Л — длина световой волны, к = 2тг/ — волновое число,

Р = /z2 + {х - х0)2 + (у - Уо)2,

х, у — координаты некоторой точки М в плоскости экрана с отверстием, x0,yo, z — координаты точки наблюдения поля.

Пусть О — некоторая точка в плоскости экрана с отверстием, которую мы примем за начало отсчета, а 6 — расстояние от точки О до точки наблюдения поля Р. Как видно из рис. 15.1,

Следовательно, в параксиальном приближении, когда

г » х, у,х0,уо,

можно записать

Xі + у2 ХХо + УУо

р = Ь +

26 6

Формула (15.5) отличается от (14.5) лишь тем, что в качестве нулевого прибли­жения величины р выбрана величина 6, а не z. Такое уточнение необходимо сделать из-за того, что в дальней зоне размеры картины дифракции, вообще говоря, весьма велики, а потому разница между величинами Ь и z становится существенной.

Подставив (15.5) в (15.1), получим

£(хо, Уо, г) - ехр (—ikb) х

Здесь, как обычно, мы пренебрегли отличием р от 6 в знаменателе подынте­грального выражения.

В частности, при дифракции на одномерных структурах

ОО

(i +1) Г ( ik (ik

E{xo, z) = —j=r ехр (-ikb) J Ео(х)ехр х2 ) ехр f —ххоJ dx (15.7)

— ОО

(ср. с формулой (14.12)), или

ОО

(г + 1) Г ( ik

£{в, z) = —j=-ехр (-ikb) j £д(х)ехр fx2J exp(i7;xsin0)da;, (15.8)

где введен угол в, определяемый формулой

sin ^ = хо/Ь,

и имеющий смысл угловой координаты точки наблюдения поля.

Формулы (15.6)—(15.8) соответствуют френелевскому приближению. Из формулы (15.8) следует, что угловое распределение поля в дифракционной кар­тине, вообще говоря, меняется по мере изменения расстояния z. Однако в обла­сти больших z это изменение становится все более и более слабым и, наконец, при

kd2/2b 1,

где d — начальный поперечный размер пучка, устанавливается устойчивое угловое распределение поля, определяемое формулой

(15.11)

Используя (15.3), (15.4), неравенство (15.10) можно представить в виде

(15.12)

где параметр

2Д = Ы2/2

называется дифракционной длиной пучка. Область пространства, определяемая условием (15.12), называется дальней зоной дифракции или зоной Фраунгофе­ра. Таким образом, мы показали, что в дальней зоне формируется устойчивое угловое распределение поля, не меняющееся при дальнейшем распространении светового пучка.

Выражение для дифракционного светового поля (15.11) носит название ди­фракционного интеграла в приближении Фраунгофера. Это приближение спра­ведливо в дальней дифракционной зоне. •:

Дифракция Фраунгофера как пространственное преобразование Фурье. Разумеется, возникающая в дальней зоне картина дифракции пред­ставляет для оптики первостепенный интерес, хотя бы потому, что вследствие устойчивости этой картины ее проще всего наблюдать экспериментально.

С математической точки зрения выражение (15.11) представляет собой про­странственный интеграл Фурье. По аналогии с интегралом Фурье по времени (см. дополнение 4) величину k sin в назовем пространственной частотой. Фи­зический смысл этого понятия раскрывает рис. 15.2, из которого видно, что величина

кх = к sin в

есть поперечная компонента волнового вектора, направленного из точки О (от­верстия) в точку наблюдения поля Р.

Формула (15.14) показывает, что между пространственной частотой кх и угловой координатой в точки наблюдения поля имеется взаимно однозначное соответствие. Это позволяет записать комплексную амплитуду поля в точке наблюдения следующим образом:

где

Рис. 15.3. Картина преобразования углового спектра при дифракции плоской волны на отверстии

плоских волн, распространяющихся в разных направлениях, вполне аналогич­но представлению импульса конечной длительности в виде суммы гармониче­ских колебаний разных частот.

Дифракция Фраунгофера на одномерных структурах. Дифракция на щели. Теперь обратимся к конкретным примерам фраунгоферовой дифрак­ции. Начнем с рассмотрения дифракции плоской волны на одномерной струк­туре — щели шириной d (рис. 15.4). Полагая

(15.20)

по формуле (15.16) получим

d/2

£o{kx) = £о / ехр (ikxx) dx = £0dsmc(kxd/2), (15.21)

-d/2

где использовано стандартное обозначение

(15.22)

Свет

Графики функций £о(х) и Ео(кх) показаны на рис. 15.5. По формулам (15.15), (15.17) находим амплитуду поля

£{Р) = Е0 <±±Ме~м sinc(M/2) (15.23)

V2 Xb

и интенсивность света в точке Р:

I(P) = /тах sine2 (kxd/2). (15.24)

Здесь использованы обозначения

/шах = Iod?/b, /0 = f|£0|2, (15.25)

о7Г

где /о — интенсивность падающей волны.

Подставляя (15.14) в (15.24), находим угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне

1(6) = Jmaxsine2 ^ifcdsin#^ , (15.26)

или

1(0) = /шах Sine2 _ (1.5.27)

График распределения (15.27) показан на рис. 15.6. Заметим, что дифракцион­ная расходимость пучка в дальней зоне оказывается порядка

Д0 = A/d (15.28)

в соответствии с общим результатом, полученным выше (см. лекцию 13).

Теоретически рассчитанное угловое распределение интенсивности излуче­ния, показанное на рис. 15.6, можно проверить экспериментально. На лекции демонстрируется дифракция излучения аргонового лазера на. щели (рис. 15.7). Наблюдаемая дифракционная картина имеет вид центральной светлой поло­сы и боковых чередующихся темных и светлых полос убывающей яркости. В лекционной демонстрации имеется возможность плавно изменять ширину ще­ли с помощью специального микрометрического винта. При этом наблюдает­ся изменение дифракционной картины, которое происходит в соответствии с

предсказанием теории: чем уже щель, тем шире светлые полосы на экране и,

следовательно, тем больше угловая расходимость излучения в дальней зоне. Таким образом, изложенная выше теория фраунгоферовой дифракции полу­чает экспериментальное подтверждение.

Дифракция Фраунгофера на двумерных структурах. Изложенную выше теорию нетрудно обобщить на случай дифракции световой волны на дву­мерной структуре. Постановку задачи дифракции иллюстрирует рис. 15.1. Ди­фракционное световое поле в приближении Френеля (слаборасходящийся пу­чок) описывает формула (15.6). В дальней дифракционной зоне, определяемой условием

z » zA = kdP/2, (15.29)

где 2Д — дифракционная длина, к — волновое число, d — максимальный попе­речный размер отверстия в экране, формула (15.6) упрощается и приобретает вид

Введем угловые координаты в и ф точки наблюдения поля Р, определив их следующим образом (рис. 15.8):

sin в = х0/Ь, simp = уо/Ь, (15.31)

а также пространственные частоты

кх = к sin в, ку = к sin ф. Тогда формулу (15.30) можно переписать в виде

ОО ОО

// £0(x, y)exp[i(kxx + kvy)]dxdy, (15.34)

—оо —ОО

So(kx, ky) — пространственная спектральная амплитуда, соответствующая дву­мерному начальному распределению поля £о(х, у). Итак, при дифракции на двумерной структуре распределение поля в дальней зоне имеет вид двумерно­го преобразования Фурье исходного распределения поля Ео{х, у).

В соответствии с (15.17), (15.33) интенсивность света в точке наблюдения выражается формулой

I(P) — &о(кх, ky), (15.35)

где

So(kx, ky) = £0{kx, ky)2, (15.36)

So(kx, ky) — пространственная спектральная плотность или угловой спектр из­лучения. Таким образом, как и в одномерном случае, пространственное распре­деление интенсивности излучения в дальней зоне имеет форму углового спек­тра излучения.

Дифракция на прямоугольном отверстии. Пусть плоская монохрома­тическая световая волна дифрагирует на прямоугольном отверстии, длины сторон которого равны d и d2 (рис. 15.9). Записав начальное распределение амплитуды поля в виде

Ct л_с / ІЖІ < ІУІ < 6І2/2,

So(*г? у) — So л (15.ЗТ)

О, вне этой области

и подставив (15.37) в (15.34), получим

di/2 d2/2

So{kx, kv)-S0 J dx J dy exp [i(kxx 4- kyy)] =

-di/2 - di/2

= Sodd2 sine(kxdi/2) sine(fcj, d2/2). (15.38)

Подставляя (15.38) в (15.35), (15.36) и учитывая (15.32), получим следующую формулу для углового распределения интенсивности излучения в дальней зоне:

т/а / т • 2 / ?гф Sin <Л • 2 ('Kd2 sin lb

I(в, ip) = 7max sine (---------------------------------------- J sine2 I —- J, (15.39)

где

(15.40)

1о — интенсивность падающей волны.

Экспериментально наблюдаемая картина дифракции на прямоугольном от­верстии полностью совпадает с предсказаниями теории (рис. 15.10).

Дифракция на круглом отверстии. Введем полярные координаты г, if на плоскости отверстия х, у и г0, <ро на плоскости наблюдения Хо, уо (рис. 15.11). Тогда можно написать

X = Г COS V?, Жо = 7*0 COS <£>о>

(15.41)

у = r sin 1р, Уо = Го sin іро-

Далее введем угол в между осью z и направлением из центра отверстия на точку наблюдения (рис. 15.12). Из рисунка видно, что

Тогда величины kx, ky, входящие в формулу (15.34), можно записать следую­щим образом:

кх = кх0/Ь = kj_ cos р0, ку = ky0/b = к± sinро■ (15.44)

Из (15.41), (15.44) следует, что

кхх + куу = кх_г cos (р — ро). (15.45)

В новых переменных пространственная спектральная амплитуда поля прини­мает вид

ОО 27Г

£(к±,р0) = / rdrj £о(г, р) ехр [г/схг cos(<p — ро)] dtp. (15.46)

о о

Ограничимся рассмотрением случая осесимметричного начального распре­деления поля, полагая

£о (г, ф) = £о (г).

Подставив (15.47) в (15.46), получим

2тг

£(к±,ро) = J £o(r)rdr J ехр [ikj_rcos(tp - tp0)] dtp. (15.48)

о о

Используя табличный интеграл

2тг

J ехр [iacos(p — tp0) dp = 27rJo(a),

где Jo(ot) — функция Бесселя нулевого порядка, получаем

ОО

£(k±) = 2nj £o{r)Jo(k±.r)r dr. (15.50)

о

Преобразование вида (15.50) называется преобразованием Фурье-Бесселя или преобразованием Ханкеля нулевого порядка. Таким образом, мы показали, что в случае изотропного начального распределения поля двумерное преобразова­ние Фурье сводится к преобразованию Ханкеля.

В формуле (15.50) функция £о{г) описывает начальное осесимметричное распределение поля. В частности, для круглого отверстия радиуса R

{ 1, т < R,

£o(r)=£o п _ (15.51)

( 0, г > R.

При этом

Л

£(к±) = £02п [ J0{kxr)rdr = £02nR2 . (15.52)

J k±R

о

Здесь мы использовали табличный интеграл

X

JxJq(x) dx = xJ(x). (15.53)

о

Вычислим угловое распределение интенсивности света в дифракционной картине. Используя формулы (15.35), (15.36), (15.52) и полагая в 1, sin в = в,

кх = ksn9 = кв, получим

4^ = 4^^) , (15.55)

4 — интенсивность падающей волны. Вид распределения (15.54) показан на рис. 15.13, это распределение называется картиной Эри. Полная угловая ши­рина центрального максимума дифракционной картины (по основанию)

Ав = 1,22А/R, (15.56)

где А — длина световой волны, R — радиус отверстия.

На лекции демонстрируется фраунгоферова дифракция на отверстиях пря­моугольной и круглой формы. Схема эксперимента аналогична показанной на рис. 15.7, в качестве источника света используется непрерывный аргоновый ла­зер. В опыте с прямоугольным отверстием дифракционная картина имеет вид крестообразной сетки пятен, яркость которых убывает от центра к периферии

картины (рис. 15.10). В опыте с круглым отверстием наблюдаемая дифракци­онная картина имеет вид центрального светлого пятна круглой формы, окру­женного концентрическими темными и светлыми кольцами убывающей ярко­сти (рис. 15.13). В обоих случаях наблюдаемые картины хорошо согласуются с результатами теоретического расчета.

Д ифракция гауссова пучка. Излучение лазера, как правило, имеет гаус­сово распределение интенсивности по поперечному сечению пучка. Рассчитаем картину дифракции в дальней зоне для гауссова пучка. Полагая

So (г) =£0ехр(—г2/2ро),

по формуле (15.50) получим

£(kj_) = S0 2жрІ ехр (~к2±рІ/2).

Полагая далее в 1, fcx = кв, найдем угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне

1(0) = Im&x exp [-(27Г0До/Л)2]

где

(15.60)

Jo — интенсивность на оси пучка при z = 0, ро — начальный радиус пучка. Таким образом, профиль интенсивности гауссова пучка сохраняет свою фор­му в процессе дифракции. По мере распространения пучка его радиус увели­
чивается, а интенсивность на оси уменьшается. Этот вывод подтверждается наблюдением свободной дифракции лазерного пучка.