ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЙ АСИНХРОННЫЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И МОДЕЛИ АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ В УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХ

Располагая математическим описанием процессов работы асин­хронного двигателя в статическом и динамическом режимах, мож­но получить временные зависимости токов статора и ротора, оп­ределить потери в асинхронной машине, проанализировать воз­можности их снижения при использовании энергосберегающих алгоритмов управления электроприводом в переходных и устано­вившихся режимах и выбрать рациональные по электропотребле­нию способы и законы управления асинхронными двигателями.

Для математического описания процессов в асинхронной ма­шине обычно используются дифференциальные уравнения обоб­щенной двухфазной машины переменного тока [32, 33, 71], полу­ченные при общепринятых допущениях (без учета потерь в стали, высших гармоник магнитного поля при равномерном воздушном зазоре и напряжении питания, являющимися симметричной си­стемой синусоидальных напряжений). Предполагается также, что параметры роторной цепи приведены к статорному контуру.

Исходные уравнения, записанные с использованием обобщен­ных пространственных векторов в системе координат, враща­ющихся с произвольной скоростью шк (при отсутствии внешних источников напряжения в роторных цепях) имеют вид:

(1.3)

(1.4)

где Uх — обобщенный вектор напряжения статора; /ь /2 — обобщен­ные векторы тока соответственно статора, ротора; RUR2 — активное сопротивление обмотки соответственно статора, ротора; ргь j/2 — обобщенные векторы потокосцепления соответственно статора, ротора; сок — электрическая угловая скорость вращения координат­ных осей; соэ — электрическая угловая скорость вращения ротора,

о)э= ті,

где ш — механическая угловая скорость ротора; М — электромаг­нитный момент, развиваемый двигателем; рп — число пар полю­сов асинхронной машины; L0 — индуктивность намагничиваю­щего контура; Jm — знак, указывающий на то, что берется только вещественная часть комплекса.

Для исследования переходных процессов система уравнений

(1.3) и уравнение (1.4) дополняются уравнением движения электро­привода:

(1.6)

где Мс — момент статической нагрузки; J — приведенный к валу суммарный момент инерции электропривода, /= /дв + /мех; /дв и /Мех— момент инерции двигателя и приведенный к валу двигателя момент инерции механизма.

Система уравнений (1.3), записанная через проекции обобщен­ных векторов на ортогональные оси и, jv координатной плоскости, вращающейся с произвольной скоростью сок, имеет следующий вид:

Щи ~ Rhu PWu

uv = Rhv +а)к¥іиі

О = R2i2u + p|/2« - (сок -(o3)|/2t,; 0 = R2i2v +PV2v+ (а>к ~ <*>э)Х|/2«,

где p — оператор дифференцирования.

В этом случае электромагнитный момент, развиваемый асин­хронным двигателем, может быть определен из выражения

М - — Рп^о (huhv ~ huhv)-

Рациональное значение сок зависит от типа решаемой задачи и, как правило, принимает одно из следующих значений: шк = О (в этом случае принято обозначать координатные оси а, у'Р); сок = = (о0э (координатные оси х, jy) сок = соэ (координатные оси d, jq). Здесь со0э — электрическая угловая скорость электромагнитного поля статора. Эта величина соответствует электрической скорости холостого хода. Заметим, что механическая угловая скорость холо­стого хода, она же — синхронная скорость, со0 = щэ/рп.

Отметим, что, обозначая угловую скорость через со и измеряя ее с-1, зачастую определение «угловая» опускают и оперируют тер­мином «скорость».

Связь между полным потокосцеплением статора j/b ротора j/2, главным потокосцеплением j/0 и токами статора ix и ротора /2 нена­сыщенной асинхронной машины выражается следующим образом:

¥і - Ls! + LqIj', ¥2 = Lrl2 + LqIu

где Ls= L0 + LXa — полная индуктивность обмотки статора; Z, lcr — индуктивность рассеяния обмотки статора; Lr= L0 + L2a — полная индуктивность обмотки ротора; Ь2а — индуктивность рассеяния обмотки ротора. _

Если учесть, что /0 = І + І2, то выражения (1.9) можно запи­сать в следующем виде:

¥1 - Lah + ¥<ъ ¥2 = blah + ¥05

где щ = LqIq, LXaIi =|f]a; Ь2аІ2=Щв ¥іо, ¥20 — потокосцепления рассеяния соответственно статора, ротора.

Запишем выражения для потокосцеплений через проекции на оси комплексной плоскости:

¥iw ¥o« ohm ¥ь = ¥(b + Iao4v ¥2и = ¥o« + J-Q. Ju

¥2у = ¥0t) + J-Q. ahv

¥ои —

¥(b - Loiov

При необходимости учета насыщения целесообразно исполь­зовать следующую систему уравнений:

щ =|/0 +Vi„;

¥2 =¥0 +?20;

Vo = А) (|А)|)Лъ 70 - 7j + 72; ¥іст - - А О A 5 ¥2а = Llall-

В системе уравнений (1.12) переменная индуктивность L0(J01), с помощью которой учитывается насыщение двигателя по глав­ному магнитному пути, рассчитывается по кривой намагничи­вания:

Г. П/П ¥°(17°1)

41 «О - ц7о|) .

где ¥о(|^о|) — нелинейная функция (характеристика намагничи­вания, определяющая связь между модулем |j/0| результирующего вектора главных потокосцеплений vj/0 и модулем |/01 результиру­ющего вектора намагничивающих токов /0).

В ряде случаев для вычисления индуктивности удобно исполь­зовать выражение

kflffi п (N)

м) V ¥о / т /|_ | 5

(|Vo|)

где /0(|¥о|) — обратная по отношению |/0(|701) нелинейная функ­ция.

Приведенные уравнения могут быть использованы для анали­за как переходных (в этом случае система уравнений асинхрон­ной машины является нелинейной и может быть решена числен­ными методами с использованием ЭВМ), так и установившихся режимов.

Для анализа установившихся режимов при переменной часто­те питающего напряжения (/, * const) примем в системе уравне­ний (1.3) скорость сок = о)0э = 2nfb производные примем равными нулю, тогда получим следующую модель, описывающую устано­вившийся режим работы двигателя:

U = усад/і + Rh

0 = У(03Оэ -W3)¥2 +^2^2;

j7, =j/0 + via;

V2 = Vo + V2C;

Vo = A) (|/o|)/o; i0 = ix + /2;

Via = AaAi V2a = LlcJl,

M = |д, Im[j/0x/i];

M = MC.

На основании уравнений установившегося режима построим схему замещения асинхронного двигателя при переменном значе­нии /. Для этого в уравнениях электрического равновесия напря­жений исключим результирующие векторы полных потокосцеп - лений обмоток статора. vj/ х и ротора j/ 2. В полученных уравнениях выразим результирующие векторы главных потокосцеплений j/0 и потокосцеплений рассеяния обмоток статора vj/la и ротора Ц/2о че­рез результирующие токи соответственно 70, Iх и 72. После не­сложных преобразований получим уравнения следующего вида:

U = RXJX + j(Oo3LaIx + ушоэ А)Ль

R? - -

О = ^2 + 7<*>0э^2а^2 + .М)эА)Ль

—; 03ОЭ = 2 л/,.

Ра

Системе уравнений (1.14) соответствует схема замещения асин­хронного двигателя при переменной частоте питающего напря­жения, приведенная на рис. 1.1.

В схеме замещения учтено насыщение асинхронного двигателя с помощью переменного коэффициента L0, являющегося функци­ей тока намагничивания |/0|.

Наведенные в электромагнитных контурах ЭДС можно запи­сать следующим образом:

Е = Усо0э? ь

Ёо = У<ооэ? о; Ё2 = М)э?2-

Схема замещения, приведенная на рис. 1.1, может использо­ваться для анализа установившихся режимов асинхронного дви­гателя при частотном способе регулирования угловой скорости.

В системах асинхронных электроприводов с регулированием на­пряжения первой гармоники переменного напряжения или доба­вочного сопротивления в роторе частота питающего напряжения остается постоянной и равной номинальному значению, т. е. fl = ~ / ном и со0э = Ыоэ. ном = 2те/1ном. Для этих случаев уравнения стати­ческих режимов приобретают следующий вид:

U = IR + jIX + j'IqXo',

0 = T2R2 + j'IqXqS + jT2X'2S,

ГДЄ X — ОІОз-ном-^Іст 5 X2 — Wo3-Hom^-'2o? -^0 — ^Оэ. ном-^СЬ X, X2 ИНДУК - тивные сопротивления рассеяния обмоток соответственно ста­тора, ротора; Х0 — индуктивное сопротивление контура намаг­ничивания.

В уравнениях статических режимов (1.15) с помощью I2, R{, Х2 обозначены параметры ротора, приведенные к параметрам обмот­ки статора, а выражение IqXq представляет собой ЭДС контура на­магничивания:

Ео=ЛоХо=Мэ. ноМ - (1-16)

С учетом (1.16) система уравнений (1.15) будет представлять собой систему уравнений статического режима работы асинхрон­ного двигателя при /, = fH0M, которому соответствует Т-образная схема замещения (см. рис. 1.1).

Часто для упрощения анализа статических режимов исполь­зуют Г-образную схему замещения, для чего подключают контур намагничивания непосредственно к зажимам питающего на­пряжения, что не вносит существенных погрешностей в расчеты. Г-образная схема замещения асинхронного двигателя в статиче­ских режимах приведена на рис. 1.2. В такой схеме ток /0 = Ux/XQ

остается в процессе работы двигателя постоянным и не зависит от скорости (скольжения) двигателя.

Приведенные при /і = /і ном уравнения статических режимов (1.15) и схема замещения (см. рис. 1.2) могут быть использованы для исследования свойств и характеристик асинхронного элект­ропривода как при регулировании напряжения Ub подводимого к статору, так и при регулировании добавочных сопротивлений ротора і?2доб. Это можно реализовать в асинхронных двигателях с контактными кольцами, для чего в схеме замещения вместо R2 нужно использовать значение R'2Z = R'2+ R2a06- Для двигателей с короткозамкнутым ротором R'2X = R'i- Тогда ток ротора

(1.17)

При известном токе ротора можно определить статорный ток:

(1.18)

где /1ном и 1'2ном — соответственно номинальный ток статора, при­веденный номинальный ток ротора.

Выражение (1.18) может быть преобразовано следующим об­разом:

(1.19)

где Мном и 5ном — соответственно номинальный момент и сколь­жение двигателя.

Момент двигателя

(1.20)

Называемый критическим максимальный момент двигателя

(1.21)

Критическое скольжение, соответствующее критическому мо­менту,

(1.22)

№+(X1+Xif

В формулах (1.21) и (1.22) знак «+» соответствует двигательно­му режиму работы двигателя, а знак «-» — тормозному. Исполь­зуя формулы (1.21) и (1.22), можно получить уточненную форму­лу Клосса для записи зависимости момента асинхронного двига­теля от скольжения:

2МК (1 + aSK) .. ...

М - —------------------- —— (123)

S/SK+SJS + 2aSK’

где а = R/R'21.

В ряде случаев используют упрощенную формулу Клосса, при­няв а = 0. Тогда

2 М

М= ‘. (1.24)

S/SK + SK/S

При исследовании переходных режимов систему уравнений

(1.3) , формулы (1.4) и (1.5) записывают обычно в относительных единицах [63, 71, 76]. Рациональный выбор системы базовых еди­ниц зависит от типа анализируемого асинхронного электропри­вода и исследуемых задач [63].

Приведенное математическое описание переходных и устано­вившихся процессов в асинхронном двигателе показывает, что управляющими воздействиями, изменяющими характеристики двигателя, являются амплитуда (или действующее значение) пе­ременного питающего напряжения, частота и амплитуда пере­менного напряжения, подводимого к статору, суммарное актив­ное сопротивление роторных цепей (для двигателей с фазным ротором, когда можно изменять значение добавочного сопротив­ления ротора).

В современных системах электропривода регулирование указан­ных параметров производится с использованием различных типов полупроводниковых преобразователей, поэтому исходные выраже­ния должны быть дополнены математическим описанием и моде­лями рассматриваемых типов преобразователей с учетом систем управления ими, что позволит анализировать процессы в системе «преобразователь — асинхронный двигатель». В зависимости от рассматриваемого класса регулируемых асинхронных электроприво­дов и исследуемых режимов анализ процессов может быть прове­ден с учетом полигармонического состава питающего напряже­ния при использовании полупроводниковых преобразователей или
только по гладкой (полезной) составляющей питающего напря­жения, а также с учетом насыщения магнитной цепи асинхрон­ной машины или при постоянстве параметров и др. Эти вопросы будут проанализированы в гл. 2.