ЭКСТРУЗИОННЫЕ головки ДЛЯ ПЛАСТМАСС И РЕЗИНЫ
Обработка граничных условий
Проблемы оптимизации при решении инженерных задач, как правило, связаны с ограничениями. Это означает, что не каждый параметр может изменяться свободно. Параметры, подлежащие ограничениям, могут изменяться только в определенных пределах. Например, при оптимизации пропускной способности экструдера давление на входе в экструзионную головку ограничивается максимально возможным давлением, создаваемым шнеком экструдера. Если соотношение между давлением и пропускной способностью экструзионной головки моделируется математически, и характеристика экструзионной головки аппроксимируется полиномом, то алгоритм оптимизации пропускной способности будет пытаться неограниченно увеличивать давление. Это произойдет, если характеристика моделируемой экструзионной головки не содержит информации о максимально возможном давлении на входе в канал. Таким образом, из данного простого примера следует, что в эту и другие подобные задачи необходимо включать граничные условия. Чтобы добиться этой цели, необходимо расширить оценочную функцию таким образом, чтобы она учитывала имеющиеся ограничения при оценке параметров.
На языке математики это означает, что одна задача на оптимизацию с ограничениями преобразуется в одну или большее количество задач оптимизации без ограничений за счет модификации оценочной функции. Добиться этой цели можно с помощью одного из двух методов — метода штрафов или барьерного метода.
Метод штрафов
Чтобы избежать выхода параметров далеко за пределы допустимого диапазона значений и использования недопустимых значений параметров в ходе оптимизации, можно ввести так называемые штрафные члены. Значения штрафных членов добавляются к значениям первоначальной оценочной функции, в результате чего получаются новые модифицированные значения оценочной функции. Цель этого подхода — искусственно занизить значения оценочной функции, если параметры, на основании которых производится оценка, выходят за границы допустимого диапазона. Штрафные функции должны подбираться индивидуально для каждой конкретной задачи. При поиске максимума математическое определение штрафных членов принимает следующий вид:
|
(4.75) |
|
S(x) |
= 0 те Jlf < 0 хе М”
|
Барьерная функция 9 L 5(5) - качество конструкции - решение - штрафная функция - модифицированная оценочная функция |
Влияние штрафных членов показано на графике, представленном на рис. 4.35 (слева). На этой иллюстрации показана монотонно возрастающая оценочная функция. Поскольку оптимизационный алгоритм может оценивать значения функции качества только в ходе оптимизации (поиска максимума), то для достижения максимального качества модели значение параметра s было в этой модели выбрано максимально возможным. В данном случае граничные условия не были приняты во внимание. Однако ограничения, налагаемые на область значений параметров граничными условиями, можно учесть за счет введения соответствующего штрафного члена, добавляемого к оценочной функции. За счет этого значения оценочной функции в допустимом диапазоне параметров не изменятся, но функция не будет достигать максимума, если
|
Штрафная функция s - системный параметр oL - оптимальное решение 6(s) - барьерная функция Z(s) — оценочная функция RR - граница допустимого диапазона параметров |
Рис. 4.35. Использование барьерных и штрафных функций для учета ограничений в процессе оптимизации
параметры выходят за пределы допустимого диапазона. Если штрафной член подобран правильно, то при использовании этого метода оптимум будет найден вблизи от границы допустимого диапазона параметров. Однако если штрафные члены подобраны плохо и не соответствуют оценочной функции, то в качестве оптимального может оказаться выбранным такой набор параметров, который лежит вне допустимого диапазона. Чтобы предотвратить возникновение такой ситуации, необходимо использовать так называемые барьерные функции.
Барьерные методы
Барьерные функции конструируются таким образом, чтобы их абсолютные значения неограниченно возрастали при достижении границы допустимого диапазона параметров (см. рис. 4.35, справа). Это позволяет надежно гарантировать, что набор параметров, выходящих за границы допустимого диапазона, никогда не будет выбран в качестве оптимального. Однако при использовании барьерных функций невозможно обнаружить оптимум, лежащий близко к границе допустимого диапазона параметров. Это происходит потому, что, в отличие от штрафных функций, барьерные функции изменяют значение оценочной функции не только за пределами допустимого диапазона, но и внутри него.
