ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Простейшие установившиеся напорные течения

Установившиеся течения несжимаемой жидкости, подчиня­ющиеся закону Дарси,— простейший класс движения в пористой среде. В то же время исследование этого класса движений чрезвы­чайно важно как для теории, так и для практики.

Различают напорное и безнапорное течения. В первом случае давление во всех точках выше атмосферного, пласт пол­ностью насыщен жидкостью и поток в нем ограничен расположен­ными сверху и снизу непроницаемыми поверхностями — кровлей - и подошвой. В случае безнапорного течения верхней границей по­тока или ее частью является свободная поверхность, давление на которой постоянно и равно атмосферному.

Установившаяся фильтрация несжимаемой (р = const) жидкости в однородной пористой среде описывается системой уравнений закона Дарси и неразрывности (1.5) и (1.16), которые в данном случае имеют вид

И = — (feV)grad(p-f pgz), (II. 1)

Divtt = 0. (II.2)

Если ввести потенциал потока <? = (kip) (р + pgz), система (II.1)— (II.2) сводится к уравнению Лапласа для? и связи между и и <р:

V2? = 0, и = —grad <р. (II .3)

Кратко рассмотрим вопрос о граничных условиях для урав­нения (II.3). В задачах фильтрации жидкости в природных плас­тах встречаются три основных типа этих условий.

1. Условие на непроницаемых границах — для всех точек М траницы Г

Ип —0 или д<?/дп = 0. (11.4)

Здесь df/dn — производная по нормали к границе Г.

Непроницаемыми границами являются кровля и подошва, т. е. поверхности, отделяющие проницаемые пласты от вмеща­ющих их непроницаемых пород (водоупоров), чаще всего глин или каменной соли. Существуют также и непроницаемые границы, секущие пласт вертикально или наклонно: изолирующие тектони­ческие нарушения или поверхности выклинивания пластов.

2. Условие заданного постоянного напора. Пример его — ус­ловия на стенке скважины (поскольку предполагается, что сква­жина полностью заполнена жидкостью):

9 = <Рс = const; г = гс. (П.5)

В ряде случаев оказывается более удобным задавать на сква­жине значение расхода, что (ввиду малости радиуса скважины гс) эквивалентно заданию постоянной по периметру скважины нормальной составляющей скорости фильтрации жидкости через стенку скважины.

Реальные скважины не представляют собой идеальной цилинд­рической поверхности, пересекающей пласт по всей его толщине. Часто вскрывается лишь часть толщины пласта (в этом случае скважины называются несовершенными по степени вскрытия). При этом граничные условия следует задавать на некотором фиктивном контуре, радиус которого (приведенный радиус) может быть значительно меньше истинного радиуса скважины.

Если скважина обсажена стальной или пластмассовой трубой, открытой для потока лишь в ряде перфорационных отверстий, то она называется несовершенной по характеру вскрытия. Для задания граничных условий на контуре такой скважины также приходится рассматривать условную скважину с приведенным радиусом, меньшим истинного. Наоборот, если вскрывается пласт, подвергшийся гидравлическому разрыву, то приведенный радиус становится большим истинного.

Иногда условие постоянного напора задается на так называ­емых дренажных галереях, т. е. поверхностях, перпендикулярных к направлению напластования, через которые жидкость отбирает­ся из пласта или закачивается в него. Понятие дренажной гале­реи заимствовано из гидротехнических задач фильтрации. При­менительно к напорному течению воды, нефти и газа в природных пластах дренажная галерея является условной схематизацией ряда (цепочки) скважин, обычно расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга по прямому, круговому или иному кон­туру. Некоторые соображения относительно возможности такой схематизации будут приведены ниже. Кроме дренажных галерей поверхностями постоянного напора моделируются в задачах фильтрации трещины, заполненные жидкостью.

Граничные условия постоянства напора ставятся и на кон­турах питания. Под контуром питания обычно понимается внешняя граница области фильтрации, через которую проникает жидкость. На этом контуре давление можно считать неизмен­ным. С известным приближением понятие контура питания при­менимо к случаю, когда пласт имеет выход в какой-либо водоем — водохранилище, реку, море. Для нефтеносных пластов в качестве контура питания часто принимается граница внешней водоносной зоны с нефтеносной — водонефтяной контакт. Такая схематиза­ция обоснована в случае, если проводимость водоносной зоны много больше, чем нефтяной. В качестве контура питания в ста­ционарном течении может также быть принята произвольная эквипотенциальная поверхность. Обычно положение контура пи­тания по геологическим данным известно лишь грубо приближен­но. Однако из дальнейшего будет видно, что для области со скважинами даже значительные ошибки в определении положе­ния контура питания несущественно влияют на величину притока.

Условие третьего рода — связь давления на границе с нор­мальной составляющей градиента давления. Пусть, например, два высокопроницаемых пласта разделены слоем очень низкой про­ницаемости, и пусть при этом перепады давлений в проницаемых пластах по обе стороны границы и вдоль пласта одного порядка. Тогда, как нетрудно убедиться, составляющая скорости течения в проницаемых пластах вдоль напластования много больше по­перечной составляющей. В малопроницаемом слое, наоборот, ско­рость будет направлена практически по нормали к границе, так как продольная составляющая градиента давления много меньше поперечной. Если давления в пластах по обе стороны границы равны рі и р2, то скорость перетока жидкости из первого пласта во второй приближенно составит

W =(k*lpb)(pi—p2), (II.6)

Где k* — проницаемость прослоя; 5 — его толщина. Поскольку зна­чение w равно нормальной составляющей скорости фильтрации во втором пласте, то можно записать

(k*/b) (Pi — р2) = —k2dp2/dn. (11.7)

Если давление в первом пласте меняется мало, то во втором на малопроницаемой границе получаем условие третьего рода:

Ар2 + Ьдр21дп = с, а2 + Ь2> 0, Ыа> О, (II.8)

Где a, b и с — постоянные.

Простейшим из фильтрационных течений является плоско­параллельный прямолинейный поток между двумя галереями с постоянным напором на каждой из них. Пусть течение направле­но вдоль оси х, составляющей угол а к горизонту.

В этом случае потенциал 9 и давление распределены по пласту линейно; при л; =0 (верхняя галерея) р = р\, при x—L (нижняя галерея) р = р2. Тогда легко получить

(р\ — p)l(pi — Р2) = x/L; <р = (kl|х) [pi — (pi — р2) (x/L) + pg sin a],

(II.9)

И = —dfldx = (kl)x) [(p\ —p2)IL — pgr sin a], (11.10)

Соотношение (11.10) —интегральная форма записи закона Дарси. Оно используется в большинстве методов лабораторного измерения проницаемости.

Среди одномерных фильтрационных движений жидкости пред­ставляет интерес течение, происходящее в вертикальном направ­лении под действием одной лишь силы тяжести, оно описывается следующим ИЗ (11.10) соотношением = Р2, а =

U = —kpg/р.. (И. 11)

Заметим, что в этом случае давление постоянно во всех точках потока.

Для широкого круга задач фильтрации в водоносных и нефте­носных пластах можно использовать двумерное приближение. Пусть кровля и подошва пласта горизонтальны, а скважины и кон­туры питания можно считать вертикальными поверхностями по­стоянного напора. Тогда, очевидно, напор во всех точках пласта не будет зависеть от вертикальной координаты, а направление потока будет горизонтальным. Эти условия сохраняются и для пласта, состоящего из ряда горизонтальных слоев разной прони­цаемости (но не зависящей от координат в горизонтальной плос­кости). При этом напор во всех слоях вдоль вертикальной ко­ординаты будет одинаковым и, хотя горизонтальные составля­ющие скорости различны по слоям, вертикальные равны нулю. В этом случае движение с осредненной по толщине скоростью по­тока точно описывается двумерными уравнениями фильтрации. Как двумерное может рассматриваться и течение в наклонных пластах малой толщины.

В плоском стационарном потоке компоненты скорости и <р удовлетворяют системе уравнений закона Дарси и неразрыв­ности:

И = —df/dx, v = —df/dy, ди/дх + dv/dy =0. (11.12)

Из последнего уравнения следует, что существует функция тока ф (х, у), такая, что

И = д<!?/ду, i> = —дф/дл:. (11.13)

Функции «риф удовлетворяют соотношениям Коши — Римана —ду/дх = д^/ду, д<р/ду = ду/дх. (11.14)

Это означает, что комплексный потенциал W = ср + іф является аналитической функцией комплексной переменной z = х + iy. Про­изводная dWldz (комплексная скорость)

DW/dz — и — iv. (11.15)

Введение комплексного потенциала позволяет решать большое число плоских задач теории фильтрации методами, основанными на теории функций комплексного переменного. Детальное изложе­ние соответствующих методов можно найти в книгах [33, 34]. Напомним простейшие примеры, иллюстрирующие характерные черты плоских установившихся фильтрационных течений в плас­тах. Некоторые более общие свойства фильтрационных течений будут рассмотрены в следующем параграфе.

Комплексный потенциал плоскопараллельного прямолинейно­го течения с постоянной скоростью описывается формулой

W = az + b, где а и b — постоянные. Для другого варианта однот мерного течения — радиального притока к источнику в начале координат выражение для комплексного потенциала имеет вид

W (г) = A lnz + B. (11.16)

Радиальная скорость иг = —г = Аг~А. При этом полный расход через скважину на единицу толщины не зависит от г и равен ur-2Tzr = q. Тогда

А = —<7 (2г)-1, W = —(2т:)-1 q In z + В. (11.17)

При радиальном потоке от кругового контура питания (г = RK) с потенциалом срк к концентричной с ним скважине радиуса г с по­тенциалом срс формула для вычисления дебита (расхода) скважины (формула Дюпюи) имеет вид

Q = qh = 2тМ (<рк — <гс)/1п (RJrc) = 2«kh(pK — pe)/p\n(RJre). (11.18)

Радиус скважины всегда намного меньше радиуса контура пи­тания и расстояния между скважинами. Поэтому при распреде­лении давления по логарифмическому закону основная часть перепада давления между контуром питания и скважиной расхо­дуется в узкой зоне вблизи скважины. Например, при RK = 100 м, гс = 0,1 м одна треть перепада расходуется в зоне радиусом 1 м и половина — в зоне радиусом 3 м. Отсюда следует особое значе­ние проводимости призабойной зоны для притока жидкости к скважине.

Рассмотрим в связи с этим приток к скважине, вокруг кото­рой имеется кольцевая зона радиуса г о с проницаемостью k0, отличной от проницаемости внешней зоны пласта В каждой из зон поток радиальный. В этом случае справедливо выражение для потенциала (11.16). Используя условие равенства расходов и дав­лений на границе зон разной проницаемости, нетрудно получить следующие формулы для притока к скважине:

Q = 2nk\ (рк — /?с)/р. [In (RK/r0) + (ki/ko) In (го/тC)J =

= (Рк-рс)/р. In (RJr'c). (11.19)

Здесь гс — приведенный радиус скважины,

Rl = Гс (гс/г0?-\ 7 = ki/k0.

В процессе бурения и эксплуатации скважины в результате присутствия в буровом растворе различных взвешенных частиц или твердых компонентов нефти проницаемость прискважинной зоны пласта часто оказывается пониженной. Поэтому, как видно из формулы (11.19), приведенный радиус скважины может ока­заться на несколько порядков ниже истинного. Дебит скважины при одном и том же перепаде существенно снижается вследствие загрязнения призабойной зоны. Например, при десятикратном снижении проницаемости в зоне радиусом 0,5 м и радиусе скваг жины 0,1 м дебит снижается в 3 раза, а в зоне радиусом 0,2 м (т. е. толщиной всего в 0,1 м) — на 40 °/о-

Отсюда вытекают два важных практических следствия. Во-пер­вых, необходимо тщательно очищать призабойную зону с целью сохранения естественного дебита скважины. Во-вторых, пользуясь формулой Дюпюи для расчета дебитов скважин и для определе­ния параметров пласта по зависимости дебит — перепад давления, необходимо помнить об условности используемого в ней радиуса скважины. В то же время вследствие быстрого падения градиен­та давления при |z|-»-oo даже заметная ошибка в определении радиуса контура питания ведет к не очень значительной ошибке в значении дебита.

Один из наиболее распространенных способов образования трещин в прискважинной зоне, применяемый для увеличения про­дуктивности скважин,— гидравлический разрыв пласта. Рассмот­рим задачу о притоке жидкости к скважине с вертикальной тре­щиной. Предположим, что радиус трещины а намного больше радиуса скважины и что раскрытие трещины достаточно велико, чтобы давление в ней можно было считать равномерно распределен­ным. Искомый комплексный потенциал можно определить, отобра­жая внешность отрезка оси х [—а, +а] на внешность единичного круга на плоскости Это отображение дается функцией Жуков­ского ______

Z = 2~1а (С + 1/С); С = a-1 (z + (11.20)

Тогда

W 1С (z)] = — (2*)-1 q In С = — (2тг)-і^ In [a-1 (z + Vz2 ~ a2)]. (11.21)

При I z I > a справедливо асимптотическое представление

W^ — (27t)-,<?[ln(2z/a) — a2/4z2 + . . .]. (11.22)

Таким образом, с хорошим приближением окружности радиуса R > а можно считать эквипотенциалями и рассматривать как услов­ные контуры питания (точное решение задачи о притоке к верти­кальной трещине с круговым контуром питания громоздко и прак­тически не нужно). Из формул (11.21) и (11.22) можно получить следующее выражение для притока:

Q = 2-k(pK — pc)l[>.\n(2Wa), (11.23)

Т. е. в этом случае приведенный радиус скважины равен четверти длины трещин. Это указывает на высокую эффективность гидравли­ческой разрыва пласта как средства интенсификации притока к скважине.

Линейность уравнений фильтрации позволяет широко применять при их решении принцип суперпозиции. Поскольку радиус г с мал по сравнению с расстоянием между скважинами, комплексный по­тенциал системы п скважин с центрами в точках г,- с дебитами qi выражается суммой потенциалов отдельных скважин, рассматри­ваемых как изолированные источники:

W = -(2*)-' £ qi In (z ~zd. (11.24)

;=i

При этом на контуре каждой скважины сумма потенциалов ос­тальных скважин практически постоянна, так как rc<^\zt — Zj |.

Принцип суперпозиции позволяет решить большое число задач фильтрации в пластах с системой скважин. Например, нетрудно показать, что комплексный потенциал системы двух равнодебитных скважин, расположенных в точках х= +1, у = О,

LF(z) = —(2«)-Vln(z2— 1) (11.25)

Описывает также приток к одиночной скважине, расположенной в точке с координатами х— 1, у = 0 вблизи непроницаемой границы (х = 0). Точно так же комплексный потенциал

W(z) = - (2*)->? In l(z - 1 )/(z + 1)] (11.26)

Соответствует не только течению между нагнетательной и добыва­ющей скважинами равного дебита в тех же точках, ной притоку к скважине в точке с координатами х=\, у=0 от прямолинейного контура питания на прямой при х = 0.

Используя принцип суперпозиции, можно решить задачу о при­токе к скважине, эксцентрично расположенной по отношению к круговому контуру питания. Пусть расстояние от центра кругового контура до скважины равно х{, радиус контура питания RK, ради­ус скважины гс. Тогда

W = -(2r.)-lqln[(z — xl)/(z — Rl/xl)]. (II.27)

Отделяя действительную часть, получим на контуре питания и на скважине

<рк = — (2k)-1 q In (хі/RK) + С, срс =- (2it)"1? In [rcXl/(R^-xi)] + С, (11.28)

Откуда нетрудно получить аналог формулы Дюпюи

Q = 2ккірк — р,)!?. In [Як (1 —хІІЯЇЇІгЛ. (11.29)

Это выражение определяет приток к скважине, расположенной в центре кругового контура питания с приведенным радиусом, рав­ным RK(l—x\lR\). Можно убедиться, что эксцентричное располо­жение скважины мало отражается на дебите даже при значитель­ном эксцентриситете. Например, при = 100 м, х\ = 50 м и гс = = 0,1 м дебит уменьшается всего лишь на 4,1 %. Это означает, что даже значительные ошибки в определении положения контура питания не очень существенно влияют на оценку дебита скважин. И хотя, само представление о контуре питания лишь схематически опи­сывает реальные условия в пласте, задание граничных условий на контуре для расчета дебитов оправдано.

При разработке нефтяных месторождений скважины по площа­ди залежи часто располагаются рядами прямолинейной или кру­говой формы. При этом вблизи скважин направление течения близ­ко к радикальному, а на расстояниях от них порядка расстояний между скважинами эквипотенциалы почти параллельны рядам скважин. Это позволяет значительно упростить расчет дебитов скважин по заданным перепадам давлений. Для иллюстрации ог­раничимся одним примером прямолинейной цепочки равнодебит - ных скважин, расположенных вдоль оси Ох на расстоянии I друг от друга. В силу симметрии область течения можно разбить на элементы, имеющие вид полосы, параллельной оси у со скважи­ной в начале координат. Эти элементы разделяются линиями то­ка и поэтому изолированы друг от друга.

Комплексный потенциал цепочки источников имеет вид

W (z) = — (2ти)-[3]^ In sin МО. (11.30)

Отделяя действительную часть выражения (11.30), получим

<р = _ (Ь:)-1 q in [ch2 (ку/l) — cos2/W/)] + С, (11.31)

Где С — произвольная постоянная.

При г = Ух2 + у2 < / (вблизи скважины), используя разложения функций ch/ и cos/ в степенные ряды, получим

V (2т:)-1 <7 In (тег//) + О (г2//2) + С. (11.32)

Таким образом, эквипотенциали, как и для изолированного ис­точника, являются окружностями с центром на оси скважины. При и более второй член в квадратных скобках в формуле (11.31) при любых х много меньше первого, что позволяет положить

Qy/2l+(2v=)~1qln2 + C. (11.33)

Пусть контур питания совпадает с прямой у = L > /. С учетом (11.33) можно считать, что условие ср = const на нем выполняется достаточно точно и решение описывается формулой (11.31). Тогда на скважине и на контуре питания имеем соответственно

«Рс------ (2*)~lq In (кгJl) + С; Чк = - qL!2l + (2*)-1 q In 2 + С, (11.34)

Откуда получим формулу для дебита

Q = 2kl (рк — /7с)/[л [L + (IU) In (//2тглс)]. (11.35)

Выражение (11.35) можно интерпретировать как формулу для двустороннего притока к участку галереи шириной /. Если рас­сматривать (11.35) как условие пропорциональности расхода и пере­пада давления, то, по Ю. П. Борисову, коэффициент

+ (iW/fcr) In (//2«rc) (11.36)

Можно назвать полным фильтрационным сопротивлением, состоящим из «внешнего» сопротивления pL/k, определяющего приток к гале­рее, и «внутреннего» сопротивления ^ln^r, добавленного за счет искривления линий тока вблизи скважины.