ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Качественные методы теории напорных течений

Эффективные решения, подобные приведенным в предыдущем параграфе, можно получить лишь для фильтрационных течений в сравнительно простых областях. В других случаях расчет полей течения связан с большими трудностями. Заметим, однако, что в прикладных задачах представляют интерес не столько сами поля, сколько некоторые их интегральные характеристики, чаще всего дебиты при заданных перепадах давления. В теории напор­ной фильтрации можно установить несколько основных принци­пов, которые позволяют получать оценки для дебитов в областях сложной формы без вычислений. Изложим некоторые из этих принципов и продемонстрируем на примерах, как ими можно практически пользоваться.

Основная задача теории пространственных напорных стацио­нарных течений состоит в отыскании поля давлений р(х) в неко­торой пространственной области D, внутри которой задано поле проницаемости k (х), а на границе С области D задано либо дав­ление р, либо нормальная составляющая скорости фильтрации ип (поток жидкости). Будем считать, что на части границы Ср задано давление, а на С, — поток:

Р! ср = Р (*), un! Cq = — k (dp/dn)/Cq = q(x). (11.37)

Здесь P (x), q(x) — заданные функции. Внутри области D дав­ление и скорость фильтрации удовлетворяют, как было показано выше, системе уравнений ':

V» = 0, и = — (k/\i) ур, (11.38)

Откуда можно получить уравнение для давления

V (kyp) = 0. (11.39)

Вариационные принципы. Рассмотрим интеграл по об­ласти D

A=$(vw)dV, (11.40)

D

Где v и <р — произвольные векторное и скалярное поля, облада­ющие достаточной гладкостью. Если векторное поле v солено- идальное, т. е. удовлетворяет условию уг» = 0, то, используя формулу Остроградского — Гаусса, получим

А = J MdS — l^vdV = f VnfdS. (11.41)

CDC

В частности, подставляя p вместо у и и вместо v, получим

А — §(uyp)dV = IpUndS. (11.42)

D С

Здесь [pundS — работа, совершаемая в единицу времени внеш»

С

Ними силами давления, на вдавливание жидкости внутрь выделен­ного объема.

Подынтегральное выражение в левой части уравнения (11.42) характеризует энергию, затрачиваемую на работу жидкости в единице объема среды на преодоление сил трения, и потому представляет собой плотность диссипации энергии — количество энергии, переходящее в тепло в единице объема пористой среды. В целом соотношение (11.42) выражает собой тождества полной диссипации: вся работа внешних сил над жид­костью в элементе пористой среды переходит в тепло. Это тож­дество верно для произвольного фильтрационного течения несжи­маемой жидкости и для стационарных течений сжимаемой жидко­сти.

Определим для векторного поля и и скалярного поля р поло­жительные функционалы X и Y:

X = Г = і W-'IVPI2^. (II.43)

2 D r 2 D

Можно установить следующие утверждения.

1. Из всех соленоидальных векторных полей v, удовлетворя­ющих в точках части границы Cq условию

Vn\c9 = g, (11.44)

Решение и («истинное поле скоростей фильтрации») выделяется тем, что минимизирует функционал

Х*[©]= X[tr] + J/tK>„rfS, (11.45)

Ср

Называемый полным потенциалом диссипации.

2. Из всех скалярных полей <р, удовлетворяющих условию на Ср

? \ср = Р, (11.46)

Решение р («истинное поле давлений») выделяется тем, что мини­мизирует функционал

У* [?] = Пт] + (П.47)

Ся

Называемый полным дополнительным потенциалом диссипации.

Докажем первое из этих утверждений. Пусть и — решение, а v — пр оизвольное поле, удовлетворяющее граничному условию (11.44) и условию соленоидальности. Тогда

X* [©] - X* [и] = ± Uф) (v2 - и2) dV — j р (vn - un)dS =

TOC \o "1-3" \h \z ~ D Ср

= 11 (ц/Л) — я) (v + u)dV — J р {v — и) ndS > 2 ср

> f (p./k) (v — u)udV — [p(v — u)ndS —

D Cp

= —l(v — u)T}pdV — ]p(v — u)ndS. (11.48)

X* [г>] — X*[u\>[p{v — и) ndS —

С

— $p(v — и) ndS = (V — и) ndS = 0. (11.49)

С„ са

Тем самым мы показали, что истинное поле скоростей и мини­мизирует полный потенциал диссипации X* [о]. Точно так же до­казывается, что истинное поле давлений р минимизирует полный дополнительный потенциал диссипации F* [?].

Следствия из вариационных принципов. Сфор­мулированные вариационные принципы можно использовать для построения решений прямыми вариационными методами. Здесь же рассмотрено применение этих принципов для качественного исследования и построения оценок решений.

Прежде всего можно установить единственность решения за­дачи: допустив существование двух различных решений системы (11.38) при условиях (11.37), получим противоречивые неравен­ства

X* Ш > X* Ш, X*lui}<Xluth

Откуда следует, что X* [иі] = X [вг]. Но в силу рассуждений, по­добных (ІІ.48),

X [и,] — X [»2] = \ \jvlk) («і - u2fdV. (11.51)

Таким образом ui = »2 — решения совпадают.

Далее для давления справедлив принцип максимума: дав­ление принимает свои наибольшее и наименьшее значения на гра­нице области. Действительно, допустим, что в области D максимум давления Р* больше, чем на границе Р+. Следовательно, макси­мальное давление достигается во внутренней точке области М*. Тогда найдется внутренняя подобласть De области D, содержащая точку М*, на границе которой р — Р* — е. Рассматривая решение уравнения (11.39) в подобласти DE и учитывая его единственность, найдем, что давление Р постоянно по всей подобласти Dt: р = = Р* — г < Р*. Это противоречит условию, что р(М) = Р*. Полу­ченное противоречие и доказывает принцип максимума.

Из нашего рассуждения следует еще одно важное утвержде­ние: поверхности постоянного давления (изобары) в стационар-

Ном фильтрационном потоке либо заканчиваются и начина­ются в точках границы, либо — если они замкнуты — содержат внутри участок границы обла­сти (такое может быть только в том случае, если область дви­жения многосвязна).

Практики случаем, когда область фильтрации представляет собой укрупненную трубку тока (рис. 4), т. е. ограничена непроницаемой боковой поверхностью Cq, на которой ы„ = 0, и двумя поверхнос­тями постоянного давления Сі и С2 (вход и выход), на которых давление принимает значения Р{ и Р2, Р\>Р2 соответственно. Большинство задач, связанных с расчетом дебитов скважин и суммарных объемов отбора по месторождениям, принадлежит именно к этому классу. Разность Р = Р\ — Р2 будем называть пе­репадом давления на данной трубке тока, а полный поток жид­кости через произвольное сечение трубки тока — расходом:

Q = — S undS = У undS. (И.52)

С, Сг

Чаще всего нас интересует именно расходная характеристика фильтрационного потока — зависимость Q(P)— или, поскольку она, очевидно, линейна — коэффициент расхода

Л = Q/P = const. (11.53)

Допустим, что найдено решение задачи теории фильтрации, т. е. поля и и р для трубки тока. Тогда имеем соотношения

У* \р] = ^ Ш (Vp)2dV = ±$UVxpdV =

= - UunpdV = UPi-P2)Q; (11.54)

* dD z

A = P~2J (%)|v/>|W. (11.55)

D

Далее, поскольку функции и, p — решение задачи теории фильт­рации, имеем

X* [»] =41Ш u4V + JpUndS =*S(uw)dV-

Cp LD

— (Pi — я2) Q = — і. (Pi ~Pi)QL = \ Q2/Л = -4 u2dV,

(11.56)

Так что A = —~Q2/X*[u]. (11.57)

Соотношения (11.55) и (11.57) можно многими способами исполь­зовать для получения оценок коэффициента расхода, продуктивности Л и доказательства общих утверждений относительно зависимости других величин от геометрических и физических параметров пласта.

Действительно, возьмем произвольное скалярное поле ср, удов­летворяющее условиям tp|Cj=l, ср |с, = 0, и произвольное солено- идальное векторное поле v. Тогда в силу доказанных вариацион­ных принципов

А = (цР2)-1 J k | Vp IW = r-11f k І у (Р/Р) I2 dV =

D D

= p-1minJyfe|v?|W<[A-1U|vf 12dV. (11.58)

Таким образом, из (11.55) следует неравенство (11.58) — оценка сверху для коэффициента продуктивности. С другой стороны, из вывода принципа минимума потенциала диссипации X* следует, что, если рассматривать не все поля скорости, а только поля, от­вечающие фиксированному расходу Q, то на них решение также минимизирует функционал X* и, следовательно,

X* [и] = ^ H~lu4V — QP< І (і Sk-WdV - QP, (И-59)

2D 2 D

Рассмотрим «нормированное» поле

«о = u/Q. (11.60)

Очевидно, этому полю будет соответствовать единичный расход, Q[«o]= 1, и в силу линейности задачи оно будет минимизировать интеграл

L$k-lvodV (11.61)

2 D

На всех соленоидальных векторных полях vo с единичным расхо­дом. Теперь имеем:

А = — jQ2/X* [и] = j*-1Q2/= ц-'/Ь-іuldV >

> [|i lk-lvldVy\ (11.62)

Неравенства (11.58) и (11.62) позволяют получить строгие дву­сторонние оценки для коэффициентов продуктивности без факти­ческого решения задачи (11.37) — (11.38). Чтобы сделать это, нужно взять произвольные пробные поля <ро и vo, удовлетворяющие усло­виям Д<ро = li Q [©о] = 1> div Vo = 0, и вычислить для них интегралы - ЛЫ И /3[Фо]. Тогда

H [©о] < Л < /і [еро]. (11.63)

Насколько удовлетворительной будет такая оценка, зависит от того, как удачно выбраны пробные функции <ро и ©о. Ниже при­ведем примеры использования этого подхода для оценки дебитов скважин.

Вопрос об оценках коэффициентов продуктивности можно по­ставить и по-другому. Если область D имеет сложную форму и (или) распределение проницаемостей в ней является достаточно сложным, естественно ставить вопрос о том, что будет с дебитом (или коэффициентом продуктивности), если изменить форму об­ласти и (или) распределение проницаемости. На этом пути уда­ется получить простые и вместе с тем важные вариационные оцен­ки. Докажем, прежде всего, физически ясное утверждение, что ес­ли при фиксированной форме трубки тока и граничных условиях изменим поле проницаемостей k таким образом, что в каждой точ­ке она не уменьшится (т. е. либо увеличится, либо останется прежней), то при том же перепаде фильтрационный расход не уменьшится. Формально это сводится к тому, что рассматривается коэффициент продуктивности Л как функционал от формы об­ласти D и от распределения в ней проницаемости и показывается, что этот функционал является монотонным по k:

Л = Л [D, k], Лі = Л [D, Л,], (11.64)

Л > Ль если k(M) > k\ (М), для всех M^D. Действительно, пусть {р, и} — решение, отвечающее распределению проницаемостей k, а [ри U\)—решение, отвечающее распределению k\. Имеем:

Лі = [pi, kx] < 2p-iP-2Y* [p, k\] =

= jji-'P-2^! І у/? 12dV < Ik I VP \2dV =

D D

= 2^P-2Y* [p, k] = Л. (11.65)

При этом первое из неравенств (11.65) следует из того, что pi минимизирует функционал Y* [<?, k\\, а второе — просто из того, что k > kl.

В частности, при введении в область течения непроницаемых перегородок коэффициент продуктивности будет уменьшаться, а при введении областей бесконечной проницаемости — увеличи­ваться.

Разобьем поток тонкими непроницаемыми поверхностями на множество тонких трубок тока, таких, что течение в каждой из них можно считать одномерным. (Это эквивалентно заданию на­правления линий тока в каждой точке пласта.) Тогда по доказан­ному подсчитанный таким образом коэффициент продуктивности окажется меньше действительного.

Напротив, если зададим форму поверхностей постоянного дав­ления (изобар) (что эквивалентно введению в поток множества бесконечно тонких поверхностей бесконечной проницаемости), то рассчитанный таким образом коэффициент продуктивности ока­жется завышенным по сравнению с действительным (см. при­мер 3).

Еще одно важное утверждение получим следующим образом. Выберем вблизи непроницаемой (боковой) границы области те­чения примыкающую к ней подобласть Dc и будем уменьшать проницаемость в ней до нуля. В пределе будем иметь новую об­ласть течения с вырезанной подобластью DЈ (с вдавленной гра­ницей). По доказанному ранее коэффициент продуктивности уменьшится.

С другой стороны, если область Dt примыкает к одной из изобар — входной С і или выходной Сг — и проницаемость в ней стремится к бесконечности, то в пределе получим область со вдав­ленной внутрь входной или выходной границей. По доказанному ранее коэффициент продуктивности при этом увеличится.

Таким образом, имеем так называемый принцип в дав - лив а н и я. При «вдавливании» в область фильтрации непрони­цаемых границ коэффициент расхода уменьшается, при вдавливании» входной и выходной изобар коэффициент расхода увеличивается. Отсюда уже непосредственно получаем принцип сравнения областей: если входная изобара Сі (контур пи­тания) для области D может быть заключена между входными изобарами для областей D* и Dt, D^aDczD*, то коэффициент продуктивности для области D принимает промежуточное значе­ние между коэффициентами продуктивности для областей и D*:

Л*<Л<Л,. (11.66)

Для однородных областей (k = const) ряд оценок можно полу­чить, используя так называемые теоремы о симметризации. Известно [32], что если область D подвергается симметризации (относительно плоскости, прямой, точки) или последовательности отражений, то уменьшается интеграл f | yep \2dV. Отсюда следует, что симметри-

Ъ

Зация области движения приводит к уменьшению коэффициента продуктивности (см. пример 4).

Можно рассмотреть и более общий вопрос о пределах измене­ния коэффициента продуктивности области, если объем ее фикси­рован. Поскольку ясно, что, сближая входную и выходную изоба­ры, можно, не уменьшая объема области, получить сколь угодно большой расход, очевидно, что верхней границы для коэффици­ента продуктивности не существует. Однако существует нижняя граница. Одна из возможных при этом постановок задачи состо­ит в следующем. Рассмотрим бесконечную трубку Cq и пересека­ющую ее поверхность С2. Поставим задачу об определении такой поверхности С\, отсекающей вместе с поверхностями С2 и Cq об­ласть D заданного объема V, чтобы коэффициент продуктивности этой области (при входе Сь выходе С2 и непроницаемой границе Cq) был минимален.

Оказывается [17], что на искомой границе Сі должно выпол­няться дополнительное условие постоянства потока: и„ = const. Для однородного пласта это позволяет в явном виде сформули­ровать и решить задачу отыскания области минимального рас­хода.

Пример 1. Пусть задан горизонтальный пласт постоянной мощности с кон" туром питания С, на котором поддерживается постоянное давление Р0, и с п экс­плуатационными скважинами радиусов гк, помещенными в точках гк(хк, ук). По тех­нологическим соображениям для каждой скважины устанавливается некоторое мини­мальное допустимое значение забойного давления Р~. Требуется так выбрать забой­ное Давление Рк из допустимого диапазона для каждой скважины

Р7<Рк < р0>

Чтобы суммарный дебит скважин Q был максимальным.

Прямое решение этой задачи требует достаточно сложных расчетов. Вначале следовало бы, решая задачу напорной фильтрации для области со скважинами, найти зависимость дебитов от забойных давлений:

<2/= £ ли(Р0-Рд,

Где Аи—матрица коэффициентов влияния, а затем максимизировать сумму

£<3.= t Aik{po-pi) k=\ і, k=l

С учетом ограничения (11.67).

На самом деле во всем этом нет необходимости. Основываясь на принципе максимума, можно показать, что максимальный суммарный дебит достигается при минимальных допустимых забойных давлениях.

Действительно, пусть р0(х, у) — решение задачи напорной фильтрчции, отве­чающее граничным условиям р0 | Ск = Р~, а р (х, у) — решение для другого на­бора значений давлений на скважинах Рк, удовлетворяющего условиям (11.67).

Составим разность р (х, у) = р — Ро - Так как задача напорной фильтрации линей­на, р — решение, которое на контуре питания С0 обращается в нуль, а на кон­турах скважин Ск принимает положительные значения. По принципу максимума во всей области фильтрации

Р(х, у) > 0 = minp {С0, С,, ..., Ск, . . ., Сп}.

Отсюда и из условия на контуре питания р0 = 0 находим, что на контуре питания др/дч > 0, где ч — направление внутренней нормали. Следовательно, "»— "ov = — (др/дч — др0!дч) < О,

Q = 5 u, dS < Q0 = ; u0,dS. с с

Это и доказывает сделанное утверждение.

Пример 2. Рассмотрим скважину радиуса р, центрально расположенную в круговом пласте радиуса R. Допустим, что эта скважина окружена зоной с проницаемостью k*<k. Попытаемся оценить, как это повлияет на дебит скважины.

Обозначим через г_ и максимальное и минимальное расстояния от центра скважины до границы зоны ухудшенной проницаемости. Дебит скважины оказы­вается заниженным, если считать зону измененной проницаемости кругом радиуса r_р и завышенным, если принять радиус зоны равным г_. Таким образом,

Q+< Q < Q_; Q± = 2-kh (Рк - Pc) (Л-1 (In R! r± + k/k_ In r±/f). (11.67)

Фактически, если размер загрязненной зоны составляет несколько метров, а г_ и отличаются в несколько раз, правые и левые части неравенства (11.67) близки между собой. В результате оказывается излишним детальное исследование влияния формы зоны на величину дебита.

Пример 3. Рассмотрим пласт, имеющий форму равнобедренного треуголь­ника ABC, в вершине А которого с углом а расположена скважина радиусом р. Допустим также, что стороны АВ и АС непроницаемы, а основание ВС является изобарой («контуром питания»). Для оценки дебита скважины примем сначала, что пласт разбит прямолинейными границами на узкие секториальные трубки тока. Суммируя их дебигы, получим

Q = <?_ = f^rin-^l-1d? = 2i^f[ln-^-lncosJ~V (11.68)

J [х L р cos cpJ (j. J 1 r1 J

Затем, разбивая пласт на тонкие слои концентричными со скважиной изоба­рами, получим

Q = Q+; Ар = Q+ Q+ = (11.69)

+ ^ J 2khi г ^ ц In (Rlp)

P

По доказанному, для истинного дебита Q имеем 0_ < Q <

Г In cos 01—1 1 с г In cos ч>і—I iiQ R

І'-щщ] <7І[1-|Щ-] (IL7°)

О

Достаточная для технических расчетов 10 %-ная точность заведомо сбеспечи - вается при R/р = 100 вплоть до а =0,9 = 51°.

Пример 4. Допустим, что имеется плоский пласт площадью S с контуром питания С и с круговой галереей радиусом р < R = (S/п)1^2.

Выполняя симметризацию относительно оси галереи, получим задачу о тече­нии между двумя круговыми галереями радиусов р и R. По сказанному выше, для дебита исходной задачи имеем