Двигатели стирлинга

Метод характеристик

Уравнения (3.72), (3.76) и (3.84) образуют систему гипер­болических дифференциальных уравнений в частных производ­ных первого порядка с двумя независимыми переменными, ко­торыми являются осевая координата х и время T. Решение этой системы находится путем интегрирования. Функцию можно про­интегрировать на некотором интервале, если она непрерывна на этом интервале. Метод характеристик позволяет проинтегри­ровать известные непрерывные функции, вид которых типичен для рассматриваемой системы уравнений. Поэтому метод ха­рактеристик представляет собой, по существу, строгую мате­матическую процедуру замены квазилинейных неоднородных уравнений в частных производных системой общих дифферен­циальных уравнений, обычно называемых совместными урав­нениями, которые справедливы и интегрируемы на поверхно­стях, называемых характеристиками или характеристическими поверхностями. Мы дали в какой-то степени упрощенное опи­сание этой процедуры; более строгое математическое описание можно найти в классической монографии Куранта и Фрндрпхса [50] или в содержательной работе Цукроу и Хофмана [41].

После преобразования исходных уравнений можно найти ре­шение либо графическим методом [61], либо конечно-разност­ными методами с использованием ЭВМ [42, 62]. Уравнения ха­рактеристических поверхностей и условия совместности на этих поверхностях определяются с помощью двух общих методик, сравнение которых не входит в нашу задачу; читатели, интере­сующиеся этим вопросом, могут получить исчерпывающий ответ в работах [40, 45, 46]. Общее решение системы уравнений выра­жается направлениями характеристик, определяемыми соотно­шением

Dxldt = U± Ае, (3.85)

И поверхности, называемой поверхностью траекторий:

Dxjdt = U. (3.86)

Вдоль этих направлений уравнения, связывающие параметры газа, т. е. уравнения совместности, принимают вид:

1. Для dx/dt = U + ае

Dp dU aipU dA

If + P«e -Ж + ~~— ~dF + PVeGe- (V - 1) P (<7 + UGB) = 0. (3.87)

2. Для dx/dt = U — ae.

Уравнение совпадает с уравнением (3.87), лишь член рAeGB за­меняется На —р CLeGiS-

3. Для dx/dt = U

■rfT-^-lr-ft - 1)Р(9 + *Я?) = 0. (3.88}

При использовании конечно-разностных методов удобно при­менять параметры, называемые переменными Римана [42], ко­торые определяются выражениями

= + (3.89)

?>R = ae-^-U. (3.90)

Затем все предыдущие уравнения преобразуются к соотноше­ниям, содержащим и (3r, и нормализуются. Физическая система координат (х, t) в системе двигателя переходит в сово­купность прямоугольных ячеек в системе безразмерных про­странственной и временной координат (X, Z), причем отноше­ние размеров ячейки AZ/&X определяется критерием Куранта

Е I D Imin

И для системы с высокими скоростями получается сетка с очень мелкими ячейками. С использованием этой сетки конечно-раз­ностными методами можно найти числовые значения основных параметров по заданным начальным данным.

В большинстве указанных работ при анализе газодинами­ческих систем не рассматривается движение поршня, но в мо­нографиях [41, 45] помимо других факторов учитывается дви­жение поршня, так что на эти работы следует обратить особое внимание. При использовании столь строгого математического подхода еще требуется: найти корреляционные соотношения для теплообмена и аэродинамического сопротивления, получить ана­литические выражения для различных граничных условий, опи­сать математически реальное движение поршня и т. д. К полу­ченным решениям нужно относиться таким же образом и с той же осторожностью, как н к решениям, найденным методами раздельного анализа. Однако можно полностью рассчитать зна­чения давления и температуры во всех точках в течение всего рабочего цикла, что позволяет более глубоко постичь меха­низмы, участвующие в рабочем процессе. Деление системы на множество небольших «газовых молей» можно считать предель­ным случаем аналогичного деления, применяемого в методике Шмидта [45]. Метод узлов с достаточным основанием можно считать обобщением этой методики.