Двигатели стирлинга

ДВУХПОРШНЕВАЯ МАШИНА (КОМПОНОВОЧНАЯ МОДИФИКАЦИЯ АЛЬФА)

Основные предположения, использованные в методе Шмидта, указаны в разд. А.4. Обозначения представлены в разд. А.5 и показаны на рис. А.1. Угол поворота кривошипа отсчитывается от нижней мертвой точки горячего поршня по часовой стрелке. Температура регенератора принимается равной среднеарифме­тическому значению температур на концах полости переменного объема. Эту температуру можно определить и другими спосо­бами (разд. А.4.1).

A.L.L. Изменение объема полости расширения VE

TOC o "1-3" h z VE = -^-(L+Cos Ф). (А.1)

А. 1.2. Изменение объема полости сжатия Vc

Ус — [1 "Ь Cos(^> — а)]. (А.2)

Если k=Vsc/VsE> (А. З)

KV

То l/c = _^L[l + cos (ф-а)1 (А.4)

А. 1.3. Мертвый объем VD

Этот объем включает все нерабочие объемы, занимаемые нагревателем, холодильником и регенератором, а также соеди­нительными трубками и зазорами цилиндра. Все эти объемы можно учесть по отдельности, но в основном анализе они рас­сматриваются как один объем с общей температурой TR:

VD = XVSE■ (А.5)

А.1.4. Давление цикла р

При определении этого параметра используют два основных предположения анализа — масса рабочего тела постоянна, а гидродинамические потери отсутствуют. При достаточно надеж­ных уплотнениях первое предположение вполне оправданно, в то время как второе вызывает определенные сомнения.

Mr = МЕ + Мс + MD= (А.6)

_ PEve I Pcvc I PpVD (X7,

' PT ' PT * х-***'/

RTe ' RTC ' RTd

Ho PE = PC = PD, TD = (TE + TC)/2, (A.8), (A.9)

TC = ITE. (A. 10)

Следовательно,

= {l(l + cos Ф) + K [1 + cos (Ф - a)] + . (A. l 1)

Пусть = (A.12)

Тогда C/p = {g(l + cos*) + Л[l + cos(*-a)]+ (A.13)

Чтобы упростить „тригонометрическую форму" задачи, исполь­зуем следующее тождество:

Р cos Л + Q sin А = (р2 + </2)"2 cos (Л — 6). (А. 14)

В таком случае сумма членов соотношения (А. 13), содержащих тригонометрические функции, преобразуется к виду

G cos Ф - f- k cos Ф cos a + k sin Ф sin a =

= [cos ф{1 + k cos a) + sin ф (k sin a)], (АЛ 5) и, применяя тождество (A. 14), получаем

( =[(!+& cos a)2 + (k sin a)2]1/2 cos (Ф — Q)— (A. 16)

= (|2 + 2kl cos a - f A:2)"2 cos (Ф — 6), (A. 17)

N k sin a k sin a 10,

Где sin6 = —------------------------- 7777 =------------ . (A. 18)

(I2 + 2kl cos a + k2)1'2 В

Cose =------------ S+fecosa----------- T7I. (A. l 9)

(Ј2 + 2K cos a + k2)1/2

И, следовательно,

У = [(£ + k + Y^p) + (I2 + 2kl cos a + k2)1'2 cos (Ф - 9)]. (A.21)

Чтобы упростить последующие математические выкладки, удобно объединить параметры в следующие группы:

В = (|2 + 2kl cos a + k2)1'2, (A.22)

5 = £ + K + —L., 6 = B/S. (A.23), (A.24)

С/р = [S + В cos (Ф - в)], (А.25)

С

[S + В cos (0 - 6)] C/S

[1 + б cos (Ф — е>] '

Полученная функция имеет максимум при cos (ф—в) =—1 и минимум при cos(^> — 9) = 1, поэтому

Ртах = (С/5) (1-6), (А.28)

Pmi„ = (C/S)(l+6), (А.29)

Ршах/Ртт = (1 + 6)/(1 - 6). (А. ЗО)

Комбинируя соотношения (А.27) и (А.28), получаем

__ Ртах (1 —6)

Р [1 + б Cos (0-е)] • или, применяя формулу (А. ЗО),

Р [1 + 6COS (0 — G)] • (Л. М)

Полезным параметром является среднее давление рсР, которое выражается соотношением

2л

О

Можно доказать, что применимо и соотношение

2Я+8

РсР = 4г S Р^(Ф-В), (А.34)

Е

Но эти соотношения равносильны, а формула (А. ЗЗ) более удоб­на. Используя выражения (А.32) и (А. ЗЗ), получаем

2л

_J_f Ртах (1 —6) Лф /д ocv

РсР— 2л ) [1 + б COS (0-6)1 * [Л. Ы)

О

Этот интеграл является табличным (он вычисляется в разд. А. 1.9). В результате получается соотношение

Pcp = Pmax (|qr|-),/2- (А.36)

А.1.5. Перенос энергии

Определенные здесь потоки энергии являются средними ве­личинами за цикл; их мгновенные значения в заданные моменты времени при определенной угловой координате можно найти с помощью уравнения энергии для неустановившегося течення, в котором используется понятие условной энтальпии, как было объяснено ранее.

А. Полость расширения (WK)

Поскольку процесс в этой полости считается изотермиче­ским,

§Q=§W ^^pdV, (А.37)

QE=WE= J pdVE. (А.38)

Vse

Проводится параметрическое вычисление этого интеграла, при­чем функция р = !(ф) определяется на основании соотношения (А.31), a Ve = —на основании формулы (А.1). Получаем

DvE = — ^f-sini>df (А. 39)

_ _ Г Ртах С - б> VSe si" * йф . д

— ) 2 [1 + 6 Cos (ф — В)] '

Этот интеграл не является табличным, и его вычисление связано с определенными трудностями. Методика вычисления интеграла описана в разд. А. 1.10; здесь приведен окончательный результат

WE = Г;|а, хЛ,. . <A.4D

Б. Полость сжатия (Wc)

Параметр Wc вычисляется так же, как и Qe, т. е.

2л

Ус— — -) 2 [1 + б Cos (ф — 0)] • {аа~>

О

Методика вычисления интеграла, представленная в разд. А. 1.11, дает следующий результат:

W _ Pmax6*^ Sin (0-а) (1-6)"*

(i + e/'Mi + d-e2)"2] ' ( }

В. Суммарный перенос

Поскольку в методе Шмидта применяются КПД цикла Кар­но (или Стирлинга) и соответствующие характеристики, то па­раметры Wc и WE связаны простым соотношением:

WC = - IWE. (А.44)

Справедливость этого соотношения доказана в разд. А. 1.12. По­лезная работа в течение одного цикла выражается формулой

WT= WE~IWE, (А.45)

Туг Pm, x6ySЈ(i-6)nsinB(i-a)^ (1+6 )'/2[1+(1_б2П '

В таком случае мощность по Шмидту Ps равна

Ps = wTN. (А.47)

А. 1.6. Степень сжатия

Соотношение (А.46) можно представить различными спосо­бами в зависимости от требований исследователей. Например, вместо ртах можно использовать рср или Pmin, применяя соот­ветственно выражения (А. ЗО) или (А.36); вместо VsЈ исполь­зовать рабочий объем или суммарный объем VT, где

Ksr = VSE + Vsc - (А.48)

= VSE(l + k). (А.49)

Зная этот параметр и давление, можно оценить габариты дви­гателя. Чтобы полностью представить размеры двигателя, не­обходимо учесть и мертвый объем, но следует отметить, что максимальный объем двигателя во время работы не равен сум­ме рабочих объемов и мертвого объема. Это обусловлено тем обстоятельством, что изменения рабочих объемов сдвинуты по фазе. Поэтому два названных параметра можно выразить сле­дующим образом:

VT = VST+VD= (А.50)

= + + (А.51)

VcT = (VE+Vc + VD)a Ах= (А.52)

={^f41 + Cos Ф) + K ^f- [1 + Cos (Ф - A)] + Xl/SЈ}m x. (A. 53)

Используя такое же Представление тригонометрических членов, как и в соотношении (А.21), получаем

J/cr = I|Ј-[(l +k + 2X) + (k2 + 2kcosa+yi2cos($-A)], (А.54) где Vcr = (^сг)шаХ и tg А = fe sin a/(k cos a + 1). (A.55)

Параметр Л определяет величину угловой координаты, при ко­торой суммарный рабочий объем достигает максимума или ми­нимума, и, применяя параметры Л и 0, можно найти сдвиг фазы между изменениями давления и объема. Следовательно, с по­мощью соотношения (А.54) можно определить Уст, т. е. вели чину 9ст при cos(^ — А) = 1:

Уст=Цв[{у + к + 2Х) + (k? + 2k cos А + I)"2]- (А.56)

Минимальное значение Рсг достигается при Cos(4> — Л)=—1, и, применяя это значение и величину, определенную соотноше­нием (А.56), можно найти степень сжатия для двигателя (а не для отдельного цилиндра):

Гу = (VCT)maJ(VcT)min, (А.57)

И, следовательно,

(1 + K + 2Х) + (K2 -f 2Fe Cos a + l)'/2

(A. 58)

(1 + k + 2X) - (k2 + 2k cosa+l)"2

A.1.7. Параметр работы

Безразмерный параметр работы типа удельной работы мож­но найти с помощью соотношений (А.46) и (А.49) или (А.51). Некоторые авторы предпочитают формулу (А.49); по указанным выше причинам мы предпочитаем использовать соотношение (А.51), получая в результате

W

Wts= в у = (А.59)

РтаXv ST __ 6(1 — £) я Sin G(1 — 6)I/J

(I + k + *)(! + б)"2 [l + d-e2)"2]

А. 1.8. Массовые расходы

А. Полость расширения (MF)

Величина ME определяется в предположении о том, что газ является идеальным:

PVP plV„

= ^тахП-6) FSЈ(1+COS0) 2RTC[ +6 Cos (Ф — 0)] •

Отметим, что это первое соотношение, в котором как-то опре­делен рабочий газ, поскольку используется газовая постоян­ная R. Этот факт заслуживает внимания, поскольку теперь ста­
новится ясно, что соотношения для мощности по Шмидту и ве­личины перенесенного тепла не зависят от природы рабочего газа. Следовательно, с их помощью, по-видимому, можно более точно рассчитывать рабочие характеристики двигателя при ис­пользовании «эффективного» газа типа водорода, а не воздуха или азота. Однако это противоречие можно устранить, если при расчете удельной мощности или переноса энергии применять закон сохранения массы, а не соотношение pmaxVsr, как в вы­ражении (А.60).

В таком случае массовый расход определяется формулой

МЕ — (dME! d$) (d<j>/dt), (А.63)

И, поскольку доминируют установившиеся условия, можно на­писать

МЕ = {dM,:Jdj>) 2nN. (А.64)

Расход вычисляется путем дифференцирования соотношения (А.62), так что

М VSEPmax d ~ А) £ № [sin (» - 6) - Sin 6] - Sin Ф} CO

ME =---------------------- 2RTC [1 + 6 cos (Ф — 6)]2 ■ (A-bb)

Б. Полость сжатия (Mc)

Величина Мс рассчитывается аналогичным образом:

Mc = pVcl(RTc), (А.66)

Mc = (dMc/df)2nN, (А.67)

И, следовательно,

• Fe^sgPrnax П - Tsin (Ф ~ 6)1 + Si"(a ~ е)1 - Sin (» ~ «Й 2RTC\ + 6 Cos (<& - В)]2

(А. 68)

В. Мертвый объем (MD)

Величину MD можно рассчитать примерно так же, как мас­совые расходы для полостей расширения и сжатия, но это мож­но сделать быстрее, если воспользоваться предположением о по­стоянстве суммарной массы:

Мт = Мс + МЕ + MD = const. (А.6)

Тогда 0 = Мс + МЕ + MD (А.69)

И MD = -(MЈ + MC). (А.70)

Найденные величины расходов особенно полезны при опреде­лении условий течения в рабочих полостях и поэтому широко применяются в предварительных расчетах конструкции тепло­обменников.

А.1.9. Вычисление интеграла рСР

Наномннм соотношение (А.35):

2Я

_ J_ Г Ртах (1 -6) D<J> Д осч

2л ) l+6cos(0-B)-

О

Этот интеграл вычисляется с помощью теоремы Коши о выче­тах, в которой используется подстановка

Z = e'*, (А.71>

И, следовательно,

Sin Ф = (г2 — L)/(2/z), cos ^ = (г2 + L)/(2z). (А.72), (А.73) Перепишем соотношение (А.35) в форме

2Л

Рср = КА ТХ------------ "^ГЗГТ—:—Т", (А.74)

^ Ер М J 1 + a cos <Г> - f t sin v 7

О

Где я I = р In Ax (1 - б)/(2я), (А.75)

А = 6 cos 0, (А.76)

6 = 6 sine, (А.77)

62 = a2 + fc2. (А. 78)

В таком случае

Pep = tfi § jz [! + aj (Z2 + 1)/2/z + ь (22 - l)/2/z] (А-79>

Ис

Где UC — окружность единичного радиуса |г|=1. Контурный интеграл, входящий в соотношение (А.79), вычисляется с по­мощью теоремы о вычетах, которая утверждает, что если су­ществует функция /(г), регулярная на замкнутом контуре UC И внутри него везде, за исключением конечного числа полю­сов, то

§f(z)dz = (А80>

= 2я/(Сумма вычетов в полюсах на контуре UC и внутри него).

Полюса функции f(z), входящей в соотношение (А.79), нахо­дятся из решения квадратного уравнения, полученного из зна­менателя:

2jz--ajz2+aj + bz2-b = 0, (А.81)

Или z2(b + aj) + 2jz — (b — af) = 0. (А.82)

Корни этого квадратного уравнения определяют положение по­люсов:

„ . . - 2 j ± [(2 Jf + 4 (Ь + Aj) (Ь - а/)]"2 ,д 8оч

2 (fc + aj)--------------- ' (А'83>

(А84)

Теперь необходимо установить, находятся ли полюса, опреде­ленные выражением (А.84), на окружности единичного радиуса |z|= 1 или внутри нее. Применяем равенство

| Z р = Zz. (А.85)

Рассмотрим полюс для которого

= [1—2(1 -62)"2 + 1 — б2]/б2 = (А.87)

= [1-(1-б2)"2]2/^. (А.88)

Разлагая функцию (А.88) с помощью биномиальной теоремы, получаем

| г р = (1 _ 1 + 62/2)2/62 = (А.89)

= б2/4. (А.90)

Следовательно,

12 | = б/2. (А.91)

Ясно, что при 6 2 полюса находятся на окружности единич­ного радиуса или внутри нее. Выразим б с помощью соотноше­ний (А.22) — (А.24):

, (j2 + 2fegcosa + fe2)"2 д

I + k + 4Х|/(| + 1) •

Можно показать, что для всех реальных значений входящих в это выражение параметров 6^2.

А. Вычеты в полюсах

Если величина Z в полюсе, находящемся внутри контура UC, Равна и, то вычет в точке Z = и определяется выражением

Вычет = Г, , . , 2Z~"--- J-R—А ■ (А.93)

И-и) L (Ь + 1°) г + 2IZ - Ъ + а> 1*=и

Упрощая выражение (А.93) с помощью правила Лопиталя, получаем

Вычет = Г„ ту - , , -.1 = (А.94)

(Z-U) L 2г (6 + Ja) + 2/ Jz=u

(А.96)

2/(1 - б2)"* '

Зеделяется соотношением

Г/. X2U/2

(А.97)

B + ja

Из которого получаем

| Z | = (4/62 + 2 + б2/4)'/2, (А.98)

И, поскольку величина б положительна, |z|> 1, т. е. нужно рас­сматривать лишь первый полюс, определенный выражением (А.86). Применяя соотношения (А.80), (А.75), (А.76) и (А.96), находим

Pep = ~2п/ Бу,2 Ртах (l-6)= (А.99)

Pinax (1 —6)

(А. 100)

(1-62)"2 '

Следовательно,

(А101)

А. 1.10. Расчет WE

Применяя к соотношению

2Я

(1 — б) L^C-F Sin Ф йф

У77 ЗГхМf rm (А.40)

2 [1 + б Cos — 6)] х '

О

Теорему Коши о вычетах и используя выражения (А.71) — (А.73), (А.76) —(А.78) и (А.80), получаем

V„ (А. 102)

Ис

Где

+ (А.103)

А. Вычисление интеграла

Рассмотрим подынтегральную функцию (А. 103), входящую в соотношение (А.102):

| (гчЦг) 4 = Ф /г + A,) - b + Aj) (А-104)

Теперь нужно найти полюса; из рассмотрения знаменателя подынтегральной функции в правой части выражения (А. 104) очевидно, что один из полюсов расположен в точке z = 0. На­ходим вычет в этом полюсе

Вычет = ■[ ■■.., .. ~ V----------------- . } = (А. 105)

(z=0) W [(& + al) Z2 + 2/Z — Ft + a/] )Z=0 * '

_ / ___________ (А — bj) _ А — bj

— B + aj (—ft — aj) (— ft + aj) a2 + i

Вычет = a И. (A. 107)

(2 = 0) 0

Остальные полюса находятся из решения квадратного урав­нения

(Ь + aj) z2 + 2jz — b + aj = 0,

Которое в действительности является уравнением (А.82). Как мы ранее установили, имеется единственный полюс

Ft + ja х '

Следовательно, в этом случае вычет в точке z = и равен

Вычет = ( . ... ,(г2 ~ 1(z~ и). , .. } , (А. 108)

(г-и) I Iz[(b + a1)z2 + 2lz-b + al] )z=u' у

И, применяя правило Лопиталя, получаем

Вычет = ( ... ,h2l(z ~ uJ + iz2 , } . (АЛОЭ)

(z-u) Ll[3(b + ia)z2+iiz-b + ai] Jz_u

Подставляя в соотношение (АЛОЭ) величину z, определенную формулой (А.86), находим

Вычет = DI/D2, (АЛЮ)

(г-и)

Где

[-1 + Q-б2)"2]2 {b + JaF (Ь + ja)2 (ft + ja)2

■ z [—■ 1 + (L — б2)^2]2 4 [— 1 + (L — 62)1'2]

D2 = j

Ft + Ja ft + Ja

(- ft + Ja) (ft + Ja) | (АЛ 12)

~ B + ja J ' v

Ру __________ -1+2(1- бУ2 - 1 + б2 - Ь2 - 2[аЬ + а2_________ =

Z)2 ~ дь + Ja) [- z + B (1 - б2)"2 - z + гб2 + 4-4 (l - б2)"2 - Ь2 -

(АЛ 13)

= [- 2 + б2 + 2 (L - б2)"2 + а2 - Fr2 - 2/Aft] - a-jb = ,д J и) / (6 + /а) [— 2 + 262 + 2(L — б2)1'2] -A-Jb

Jb [1-(1-б2)"Ч

Б2 [1 - б2 - (1 - б2)"2] б2 '

Следовательно, сумму вычетов можно найти с помощью соот­ношений (А.80), (А. 107) и (АЛ 15)

2л/(Сумма вычетов) = = 2_ _ JL _ -_ _| = (АЛ 16)

__ 2ПЬ ( 1-(1-б2)'/2 )

У [i-62-(i-62)"2]62 j

2nb [(1-б2)!/2-1]. (АЛ 17)

Можно непосредственно использовать выражение (A.117), но, чтобы провести сравнение с соотношением, полученным сотруд­никами фирмы «Филипс», умножим его на

TOC o "1-3" h z 1... I+q-62)"2 (А1т

ГТоГ^' (АЛ18)

Получая в результате

О чг ^ 2Nb F[(L-62)1/A-I] [L + (L -62),/2Д 2я/(Сумма вычетов)=б2(1_б2)1/2{-1--- ,+(lJ_62)1/2 J}=

— 2 nb

(l-62)"2[l + (l-62)1'2] '

Следовательно,

R -p^V-Wsb_______________ Z^___________ (AU9)

Подставляя величину B, определенную выражением (A.77), получаем

Ртах с — 6) Г5£.б Sin 6 Л

Й7£=(1_62)./2[1+(1_62)]1/2= (АЛ2°)

(l+6)"2[l+(l-62)"2] '

А. 1.11. Расчет Wc

Работа, производимая в полости сжатия, равна

2Я

Wc= P&)dlVc(4>)], (А. 122)

О

Где р{ф) и Vc определяются соответственно выражениями (А.31) и (А.4). Получаем

DVc (Ф) = - sin (ф - 9) Лф, (А.123)

2я

О

2л

+ ] 2 П + 6 cos (Ф — 6)1 (C0S * Sin «) *+■ bА-124>

О

Теперь нужно вычислить два интеграла:

2Л 2Я

С ______ Sin Ф_____ , , F _______ Cos 0_______ , ,

J l+6cos(0-6) fl?> " J 1+6 COS (0-6) <P'

О 0

Левый интеграл был рассчитан в разд. А. 1.9; осталось вычис­лить правый интеграл. Расчет проводится так же, как и ранее, поскольку и в этом случае мы имеем дело с контурным инте­гралом. Используя подстановку z — eПолучаем

2Я

Cos Ф ,, с [(z2 + l)/2z] [Dz/Jz]____________

S 1 + 6 Cos (Ф - 6) ~~ §

[2/z/2/z] + [ja (z2 + l)/2/z] + [b (z2 — l)/2/z] 0 UC

(A.125)

= § z[2/z + /a(z2+l) + b(z2-l)] " (A-126)

Чтобы найти полюса, рассмотрим знаменатель подынтегральной функции в выражении (А.126), а именно z[2jz + /a(z2 + 1) + + Ь(г2—1)]; один из полюсов расположен в точке 2 = 0. На­ходим вычет в этом полюсе:

Вычет = Г. ,21+1, т г , .. 1 = (А. 127)

(Z-O) L z2 (b + Aj) + 2;z + (— fc - f Aj) Jz=0

= ' = . ■ ~b~ai. = (А. 128)

— B + aj — b + aj — b — aj

= ~(b + ai) . (A. 129)

Остальные полюса были получены в разд. А. 1.9: -/ + /(L-62)"2

(А.86)

Ь + Ja .

Тогда Вычет = ( . 2. ") .—ттЛ - (А.130) (Z_U) Z[Z2(Aj + B) + 2Jz + (Aj-B)]

Применяя правило Лопиталя, получаем

= [ Зг2 (aj + Ь) ++4jz + (aj - b) ]Z=U ' (A. 132)

Подставляя в соотношение (А. 132) выражение для г (А.86),. находим

Вычет = D3JD4, (А. 133)

Л = -3[-l+(l-62)'^(fc + aj) 4/[-1+(1-62)'/2] 4 b (b + aj)2 "Т" B + Aj

(-.b + ja)(b+ja)

B + ja 4 '

Следовательно, Вычет =

__________ -[-! + (!- б2)"2]2 + (B + Aj)2___________ _ =

(B+Aj){-Z[- 1 + (1 - б2)"2]2-4 [- 1 + (1-е®)'/*]}+ (-Fc+ /„)(* + Ja)

(А. 136)

_ [1 _ 2 (1 _ б2)"2 + 1 - б2] + Ь2 + 2Abj - а2

(А. 137)

2 (6 + aj) [ -— 1 —I— С1 — б2)1'2 + б2]

Соотношение (А. 137) можно представить в более удобной фор­ме, если привести его к рациональному виду, умножая числи­тель и знаменатель на (—А — jb) и получая в результате

Вь[чет = -(-a- jb) [- 1 + (l - б2)"2]2 + (- а - Jb) (B + Aj)2 = (z-u) 2 (b + aj) (-a- jb) [- 1 + (l - б2)"2 + б2]

В Г T-d-62)'/2 1 ь ,дп

Те2" L1 — б2 — (1 — б2)1'2 J б2"' (АЛ38>

Следовательно, сумму вычетов можно найти, суммируя выра­жения (А.138) и (А.129):

(г, * а Г I — (1 — б2)"2 1 , Ь Ь aj

(Сумма вычетов) = ^ J + _ _ _ _ .

(А. 139)

Контурный интеграл равен произведению 2л/ на сумму вычетов: = ЬЦх^ьуп [-I+D- б2)'/21- (А-141)

Следовательно,

2Л

Г Pmax(l — S) VSEk Sine cos

) 2 [I +6 Cos (0-6)] =

0

N„„ (1—6)FOI, fcsina 2Яа

= ----------------- Ljm---------- ____[_ 1 + (1_62)1/2]= (АЛ42)

_ K sin apmax 6Л cos 6 (1 - 6) [- 1 + (l - 62)1/2] KsЈ _

62 [(1 - 6) (1 - ft2)''2] ~

_ ~Pmax(l-6)l/2feFSEn6 cos6 sing

Однако, чтобы упростить выражение (А.146), необходимо вер­нуться к исходному тригонометрическому выражению (А.145). Тогда

VC k sin 6 Cos a k cos 0 Sin a

1Ital Sin 0 ' (A. 147)

Применяя соотношения (A.18), (A.19) и (A.22), получаем

Sin 9 = K sin А/Б, (A. 148)

Cos6 = (g + /ecosa)/e, (A. 149)

И выражение (A. 147) принимает вид

Wr K Sin A (I + K Cos'A) В ,4

= K cos a------------- я ° . -,---------- — = (A. 150)

WE В (k sin a) v

= &cosa— g — fccosa = —g. (A.151

A.1.13. Соотношения для массового расхода

Формулы для массового расхода в полостях сжатия и рас­ширения уже приводились в тексте. Здесь эти формулы будут выведены, поскольку их вывод достаточно ясен и не слишком сложен с математической точки зрения. Имеем

(АЛ 52)

Тогда МЕ = 1 + 1с1(ФЛ)' (АЛ53)

[1 + Cos Ф 1 1 + 6 Cos (Ф —~0)"_1 ' (АЛ54)

D<p Dф

Применяем правило дифференцирования частного

D (х/у) _ 1 dx Х dy

Dti У dn У[5] dn '

В нашем случае х — 1 + cos ф, у — 1 - f 6cos (ф — 0). Следова­тельно,

D ( )___ — Sin Ф_________ 6 Sin (0 — 0) (1 + Cos Ф) _

Dф ~ 1 + 6cos(0 — 0) + [1+6cos(0 —б)]2 ~

_ 6 Sin (Ф — 0) — 6 Sin 0 — Sin Ф .. .

— [1 + 6 Cos (0 - 0)]2 ' (А. 1ОО)

0-

28 Зак. 839

Комбинируя соотношения (А.155), (А.154), (А.63) и (А.152),

Находим формулу, выражающую массовый расход в полости расширения:

• VSEPmax (' ~ 6> £ <6 Tsi" ~ 6) ~ 5In 61 ~ Sin »> "> ,д

£ 2Rtc [1 + 6 Cos (ф — В)]2 ' (а-ь;э)

Где со = 2пЛг. (А. 156)

Аналогичным образом определяется массовый расход в по­лости сжатия Мс'-

М - PVC _ Р...их £ ~ 6> kvse tt + c0s (± - ,д

С RTC ' 2[l+6cos(0-6]«rc " lA. lO/j

Пусть Gc —- ~T"}kVsE ; (А. 158)

RfMc d Г 1 + Cos (0 — а)

1Ф~~ Gc~^TLT+Tco

__ 6 Sin (0 — В) — Sin (0 — а) + 6 Sin (а — 6) , . .

~~ 11 +6 Cos (0-В)]2 • 1А.1ЬУ)

Комбинируя соотношения (А.159), (А 158) и (А.67), получаем

• _ KVSEPmzx С ~ 6) [Sin (Ф ~ е> + Sin (« ~ ~ Sin (» - «))ю С— 2-RTс П + 6 Cos (ф — В)]2

(А.68)

Итак, достаточно подробно рассмотрены основные соотноше­ния метода Шмидта. Применим эти соотношения для других модификаций двигателя Стирлинга.