Доклады о будущих и современных технологиях

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ К АНАЛИЗУ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕИНЫМ ТРЕНИЕМ

С. В. Федорова, А. Б. Капранова

Научный руководитель - А. Б. Капранова, д-р физ.-мат. наук, профессор

Ярославский государственный технический университет

Поиск аналитического решения нелинейных уравнений Лагранжа II рода в обобщенных координатах представляет собой нетривиальную зада­чу, требующую применения специальных асимптотических методов.

Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси обосновали возможность ис­пользования метода Ван-дер-Поля, как достаточно универсального, для отыскания решения дифференциального уравнения второго порядка, со­держащего нелинейную функциональную зависимость (с малыми нели­нейными членами) от обобщенных характеристик движения изучаемой системы - скорости и координаты.

Кроме того, применяется допущение о виде искомого решения, кото­рое формируется пропорциональным функции косинуса при изменениях значений амплитуды и фазы с течением времени, т. е. достаточно медлен­ных, чтобы выполнялись специальные условия для первой производной амплитуды. В связи с этим обстоятельством данный способ имеет второе название - метод медленно меняющихся амплитуд. Требование выполне­ния дополнительного условия Ван-дер-Поля в форме уравнения связи ме­жду первыми производными по времени от амплитуды и фазы приводит к замене переменных в функции обобщенной координаты. Таким образом, происходит переход от исходного уравнения Лагранжа II рода в обобщен­ных координатах к системе двух дифференциальных уравнений, называе­мых «укороченными» уравнениями Ван-дер-Поля относительно фунКциЙ амплитуды и фазы.

В качестве примера, иллюстрирующего описанный метод медленно меняющихся амплитуд, рассмотрим случай колебаний консервативной ме­ханической системы с одной степенью свободы при сочетании нелинейно­го трения с линейной восстанавливающей силой. Получаемое решение «укороченного» уравнения Ван-дер-Поля для амплитуды вычисляется с помощью интеграла Эйлера второго рода через Г-функцию. Задавая на­чальное условие для искомой функции амплитуды колебаний и используя метод разделения переменных, выполняется интегрирование «укороченно­го» уравнения Ван-дер-Поля, результатом которого является иррациональ­ная временная зависимость. Вид функции амплитуды определяется цело­численным показателем Г - фунКциИ и первые трех его значения приводят соответственно к линейной, гиперболической или экспоненциальной зави­симостям амплитуды от времени.