ЧАСТОТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ

Электрической машине

Понятие обобщённого пространственного вектора

Современная теория электрических машин и электропривода строится на ос­нове представления электромагнитных величин векторами. Это позволяет не только получить компактную запись уравнений, но также построить высокоэф­фективные системы управления, базирующиеся на векторных понятиях.

Большинство электрических машин переменного тока предназначено для ра­боты в трехфазных сетях, поэтому они изготавливаются с симметричными трех­фазными обмотками на статоре, причем МДС этих обмоток распределены в про­странстве по закону близкому к синусоидальному, т. е. МДС, создаваемая к - й об­моткой в точке, отстоящей от оси этой обмотки на угол ак равна -

Fk (а) = Fk0 cosa^ , где Fk0 - МДС, соответствующая оси к - й обмотки.

Синусоидальность распределения позволяет представить МДС или пропор­циональные им токи обобщённым пространственным вектором на плоскости, перпендикулярной оси ротора машины. В дальнейшем под обобщённым вектором мы будем понимать вектор, проекции которого на оси фазных обмоток в любой момент времени равны мгновенным значениям фазных величин. представляемых этим вектором.

Если ток в каждой обмотке представить вектором (ia, ib, ic рис. 1.1), модуль которого равен мгновенному значению тока (іа, іь, ic),

а направление совпадает с осью обмотки, и сложить эти векторы, то мы получим про-

3.

странственный вектор тока —і. Модуль это-

2

го вектора будет в полтора раза больше мо­дуля вектора і, проекции которого на оси фазных обмоток равны мгновенным значе­ниям фазных токов ia, ib, ic. Следовательно, для того, чтобы вектор, полученный сложе­нием фазных векторов, соответствовал дан­ному выше определению, его нужно уменьшить в полтора раза, умножив на ко­эффициент 2/3. В общем случае т -фазной системы обмоток модуль суммарного вектора в т /2 - раз больше модуля обобщённого вектора и, соответственно, коэф­фициент, на который нужно умножать результат суммирования равен 21т*

Для упрощения математических операций координаты точек на любой плос­кости можно объединить в комплексные числа.

Основное свойство симметрии фазных величин заключается в равенстве нулю суммы фазных операторов. Для трехфазной системы это очевидно из

О 1 2-і 2 і 1 • л/З 1 . л/З п

равенства - а +а +а =1 + а + а =1 ь/--------------------------- / — = I).

F 2 2 2 2

Из курса электротехники известно, что любую несимметричную трехфазную систему питания можно представить суммой трех симметричных составляющих: прямой, обратной и нулевой последовательности

Это означает, что обобщённый вектор тот не содержит нулевой состав­ляющей и ее при анализе нужно учитывать особо. Иными словами, при любом виде асимметрии обобщённый вектор будет содержать только симметричные составляющие прямой и обратной последовательности.

Пусть начальные фазы обеих составляющих равны нулю (Sv = Sz = 0), тогда

і = iv + iz = Ivmejm + Izme~jm = (/,,„, + /z„,)cosco/ + j(lvm - /zJsino)/.

Это выражение представляет собой параметрическое уравнение эллипса с полу­осями, равными сумме и разности модулей составляющих прямой и обратной по­следовательности. При ненулевых начальных фазах в некоторый момент времени вектор тока займет положение, соответствующее большой оси эллипса. При этом должно выполняться условие і = iv + iz = Ivmej{(0t+8v) + = Ivm + Izm или

соt + 8v= - соt + 5Z = 0 Ш = (Sz - Sv)/2. Значит, большая ось эллипса годографа

вектора тока будет располагаться на биссектрисе угла между начальными фазами, т. е. под углом y = (5z-5v)/2 к оси обмотки фазы а.

Таким образом, при несимметричных фазных токах годографом простран­ственного вектора является эллипс, соотношение осей которого определяется степенью асимметрии. Предельным состоянием этого годографа при отсутствии асимметрии будет окружность, а при равенстве составляющих прямой и обратной последовательности - отрезок прямой с длиной равной двойному значению их модуля.

Рассмотрим в качестве примера некоторую произвольную систему фазных токов (рис. 1.2 а)

ia =lsin(co? + л;/6); ib = 0,8sin(co? + Зл;/4); ia = 1,5sin(co? — 57г/3).

В соответствии с (1.5) симметричные составляющие этой системы равны

Lv = 0,704e“J°’84; /z = 0,24ej1,38; /0 = 0,651еуо’93.

Г одографом вектора тока будет эллипс с большой и малой полуосями А = 0,704 + 0,24 = 0,944; 5 = 0,7040,24 = 0,463 и наклоном большой оси

(1,38+ 0,84)/2 = 1,11 (63,5°). Он показан на рис. 1.2 г) вместе с годографами сим­метричных составляющих (штриховые линии).

Если теперь выполнить суммирование і = iv + iz, а затем определить проекции вектора і на фазные оси (см. ниже), то мы получим фазные токи

/' = 0,591sin(co^ — 0,51); i'b = 0,942sin(co? - 2,9); i'c = 0,649sin(co? + 0,91),

существенно отличающиеся от исходных, т. к. они не содержат нулевой состав­ляющей (рис. 1.2 б).

Для несинусоидальных величин также можно построить годограф обобщён­ного вектора. Пусть, например, рассмотренные выше несимметричные токи со­держат еще и третью гармонику

ia =lsin(co? +7г/6) + 0,15 sin (Зсо ґ + тг / 6);

ib = 0,8sin(co? + Зл:/4) + 0,2sin(3co?-7r/8);

ia = 1,5sin(oo^ — 5tt/3) + 0,25sin(3co?-7r/6)

(рис. 1.2. в). Подставляя эти значения в (1.1), мы получим координаты век­тора і и можем построить его годограф (штрих - пунктирная линия на рис.

1.2 г). Этот годограф сво­дится к сумме кривых вто­рого порядка (эллипсов), соответствующих каждой гармонической состав­ляющей фазных токов.

Обобщённый вектор, как и любой вектор на плоскости, можно предста­вить через координаты точки его конца или, что то же самое, через его проек­ции на оси координат, объ­единённые алгебраической

ного числа. Если оси веще­ственной и мнимой составляющих обозначить, как а и Р (рис. 1.1), то обобщён­ный вектор тока будет равен

t = la+JlV

Подставляя в выражение (1.1) значения оператора системы, записанные в ал­гебраической форме, и разделяя вещественную и мнимую части, получим

Переход от представления обобщённого вектора проекциями на оси фазных обмоток к представлению его проекциями на ортогональные оси комплексной плоскости эквивалентно преобразованию трехфазной системы обмоток в двух­фазную. В матричной форме эти преобразования координат с учётом /0 = (ia + ib + ic)/3 можно записать как

При отсутствии нулевого провода іа + ib + іс = 0.

Преобразование системы координат является одной из важнейшей функций, используемых в современных системах управления приводом, которая позволяет изменить характер фазных величин. Пусть, например, рассматриваемая нами сис­тема токов содержит только составляющую прямой последовательности с часто­той со, т. е. фазные токи симметричны и = iv

В результате преобразования фазные токи или проекции обобщённого векто­ра на координатные оси будут постоянными величинами

lx=Ivm cos5v; iy = Ivmsin6v.

Если же синхронную систему координат сориентировать по вектору тока, т. е. использовать оператор вращения e~J^mt+8^ , то проекция / будет равна нулю, а х - проекция станет равной модулю вектора ix = Ivm.

С помощью обратных преобразований можно синтезировать вектор с задан­ными параметрами, т. е. модулем, начальной фазой и частотой вращения. Для это­го нужно задать значения х и у проекций, а затем преобразовать их в неподвиж­ную систему координат в соответствии с (1.7), где & = Ш. При этом постоянные

/2 2

величины ix и iy в новой системе координат определят амплитуду Im = Jix + iy и начальную фазу S = arctg {iy/ix) синусоидальных фазных токов ia = I rn cos (со/ + 8); /р = I m sin (со/ + 8), частота которых со должна быть задана ар­гументом тригонометрических функций в преобразовании (1.7).

Обобщёнными векторами можно представить также ЭДС е, напряжения и и потокосцепления |/А при этом все свойства рассмотренного выше обобщённого вектора тока будут присущи и этим векторам.